高效作业四 空间向量及其运算的坐标表示-【优化探究】2023-2024学年高二数学寒假高效作业（人教A版2019）

高效作业四　空间向量及其运算的坐标表示 １．空间向量运算的坐标表示 设a＝(a１,a２,a３),b＝(b１,b２,b３),空间向量 的坐标运算法则如下表所示: 运算 坐标表示 加法 a＋b＝　　　　　　　　　　　 减法 a－b＝　　　　　　　　　　　 数乘 λa＝　　　　　　　　　　　　 数量积 a􀅰b＝　　　　　　　　　　　　 ２．空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐 标表示 设a＝(a１,a２,a３),b＝(b１,b２,b３),则 平行 (a∥b) a ∥ b (b ≠ ０)⇔ a ＝ λb ⇔ 　　　　　　　　 　　　　　　　　(λ∈R) 　　　　　　　　 ì î í ï ï ï ï 垂直 (a⊥b) a⊥b⇔a􀅰b＝０⇔ 　 (a,b均为非零向量) 模 |a|＝ a􀅰a＝　　　　　 夹角公式 cos‹a,b›＝ a 􀅰b |a||b| ＝ a１b１＋a２b２＋a３b３ a２１＋a２２＋a２３ b２１＋b２２＋b２３ ３．向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设 A(a１,b１,c１), B(a２,b２,c２),则 (１)AB→＝　　　　　　　　　　　　　　 　　; (２)dAB＝|AB →|＝　　　　　　　　　　． (３)A,B的中点坐标为　　　　　　　　． 　特殊向量的坐标表示 (１)当向量a平行于x 轴时,纵坐标、竖坐标 都为０,即a＝(x,０,０)(x∈R); (２)当向量a平行于y 轴时,横坐标、竖坐标 都为０,即a＝(０,y,０)(y∈R); (３)当向量a平行于z 轴时,横坐标、纵坐标 都为０,即a＝(０,０,z)(z∈R); (４)当向量a平行于Oxy 平面时,竖坐标为 ０,即a＝(x,y,０)(x,y∈R); (５)当向量a平行于Oyz 平面时,横坐标为 ０,即a＝(０,y,z)(y,z∈R); (６)当向量a平行于Oxz 平面时,纵坐标为 ０,即a＝(x,０,z)(x,z∈R)． １．(多选)如图,在长方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,AB＝５,AD＝４,AA１＝３,以直线 DA, DC,DD１ 分别为x轴、y轴、z轴,建立空间 直角坐标系,则 (　　) A．点B１ 的坐标为(４,５,３) B．点C１ 关于点B 对称的点为(５,８,－３) C．点A 关于直线BD１ 对称的点为(０,５,３) D．点C关于平面ABB１A１ 对称的点为(８,５,０) ２．已知三点A(１,５,－２),B(２,４,１),C(a,３, b＋２)在同一条直线上,那么 (　　) A．a＝３,b＝－３ B．a＝６,b＝－１ C．a＝３,b＝２ D．a＝－２,b＝１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９􀅰 ３．(多选)若a＝(－１,λ,－２),b＝(２,－１,１),a 与b的夹角为１２０°,则λ的值为 (　　) A．１７ B．－１７ C．－１ D．１ ４．已知向量a＝(－２,x,２),b＝(２,１,２),c＝(４, －２,１)．若a⊥(b－c),则x的值为 (　　) A．－２ B．２ C．３ D．－３ ５．在直三棱柱ABCＧA１B１C１中,∠BCA＝９０°,M, N 分别是A１B１,A１C１的中点,BC＝CA＝CC１, 则BM 与AN 所成角的余弦值为 (　　) A．１１０ B． ２ ５ C．３０１０ D． ２ ２ ６．空间点A(x,y,z),O(０,０,０),B(２,３,２), 若AO＝１,则AB 的最小值为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ７．已知a＝(１,１,０),b＝(０,１,１),c＝(１,０,１), p＝a－b,q＝a＋２b－c,则p􀅰q＝　　　　． ８．已知空间三点A(１,１,１),B(－１,０,４),C(２, －２,３),则AB→ 与CA→ 的 夹 角θ 的 大 小 是 　　　　． ９．如图,正方体ABCDＧA１B１C１D１的棱长为 １,E,F分别是棱BC,DD１上的点．如果B１E ⊥平 面 ABF,则 CE 与 DF 的 和 的 值 为 　　　　． １０．已知A(１,２,０),B(０,１,－１),P 是x 轴上 的动点,当|PA→|＝|PB→|时,点P 的坐标为