高效作业十六 等差数列-【优化探究】2023-2024学年高二数学寒假高效作业（人教A版2019）

高效作业十六　等差数列 １．等差数列的有关概念 (１)定义:如果一个数列从第２项起,每一项 与它的前一项的　　都等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做 等差数列的公差,符号表示为　　　　　　 　　(n∈N∗,d为常数)． (２)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充 要条件是A＝a＋b２ ,其中A 叫做a,b的　　 　　　　． ２．等差数列的有关公式 (１)通项公式:an＝　　　　　　　　⇒当d ≠０时,an 是关于n的一次函数． (２)前 n 项 和 公 式:Sn ＝ n(a１＋an) ２ an＝a１＋(n－１)d →Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d＝ d ２n ２＋ a１－ d ２ æ è ç ö ø ÷n⇒当d≠０时,Sn 是关于n的二次函 数,且没有常数项． １．已知{an}为等差数列,d 为公差,Sn 为该数 列的前n项和． (１)通项公式的推广:an＝am＋(n－m)d(n, m∈N∗)． (２)在等差数列{an}中,当m＋n＝p＋q时,am ＋an＝ap＋aq(m,n,p,q∈N∗)．特别地,若m＋ n＝２p,则２ap＝am＋an(m,n,p∈N∗)． (３)ak,ak＋m,ak＋２m,􀆺仍是等差数列,公差 为md(k,m∈N∗)． (４)Sn,S２n－Sn,S３n－S２n,􀆺也成等差数 列,公差为n２d． (５)若{an},{bn}是等差数列,则{pan＋qbn} 也是等差数列． (６)若{an}是等差数列,则 Sn n{ }也成等差数 列,其首项与{an}首项相同,公差是{an}公 差的１ ２． (７)若项数为偶数２n,则S２n＝n(a１＋a２n)＝ n(an＋an＋１);S偶－S奇＝nd; S奇 S偶 ＝ an an＋１ ． (８)若项数为奇数２n－１,则S２n－１＝(２n－ １)an;S奇－S偶＝an; S奇 S偶 ＝ n n－１． (９)在等差数列{an}中,若a１＞０,d＜０,则满 足 am≥０, am＋１≤０ { 的项数m 使得Sn 取得最大值 Sm;若a１＜０,d＞０,则满足 am≤０, am＋１≥０ { 的项数 m 使得Sn 取得最小值Sm． ２．已知数列{an},{bn}都是等差数列．记Sn,Tn 分 别 为 {an},{bn}的 前 n 项 和,则 an bn ＝ S２n－１ T２n－１ ． ３．求{|an|}前n 项和的方法({an}为等差数 列) 若数列{an}为等差数列,Sn 为其前n 项和, Tn＝|a１|＋|a２|＋􀆺＋|an|,则有: (１)若a１＞０,d＜０,则存在k∈N∗,使得ak≥０, ak＋１＜０,从而Tn＝ Sn(n≤k), ２Sk－Sn(n＞k); { (２)若a１＜０,d＞０,则存在k∈N∗,使得ak≤０, ak＋１＞０,从而Tn＝ －Sn(n≤k), Sn－２Sk(n＞k)． { 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３􀅰 １．已知数列{an}是等差数列,且a３＋a１１＝２０, 则a７＝ (　　) A．１０ B．９ C．８ D．７ ２．已知Sn 是等差数列{an}的前n项和,a３＋ a７＝８,S７＝３５,则a４＋a５＝ (　　) A．１ B．５ C．７ D．９ ３．(多选)在等差数列{an}中,Sn 为其前n项和, a１＝１５,S５＝S１１,则下列结论正确的是 (　　) A．d＝－１ B．|a４|＝|a１３| C．Sn 的最大值为S８ D．使得Sn＞０的最大整数n＝１５ ４．已知数列{an},{bn}都是等差数列,记Sn,Tn 分别 为 {an},{bn}的 前 n 项 和,且 Sn Tn ＝ ７n－１ ３n ,则a５ b５ ＝ (　　) A．３４１５ B． ２３ １０ C．３１７ D． ６２ ２７ ５．若{an}为等差数列,首项a１＞０,a１０１１＋ a１０１２＞０,a１０１１􀅰a１０１２＜０,则使得前n项 和Sn＞０成立的最大自然数n是 (　　) A．２０２３ B．２０２２ C．２０２１ D．２０２０ ６．(多选)已知数列{an}为等差数列,其前n 项和 为Sn．若Sn＝S１３－n(n∈N∗ 且n＜ １３),有以下结论