高效作业十二 椭圆-【优化探究】2023-2024学年高二数学寒假高效作业（人教A版2019）

高效作业十二　椭圆 １．椭圆的定义 平面内与两个定点F１,F２的距离的和等于 常数２a(２a＞|F１F２|)的动点P 的轨迹叫做 椭圆,这两个定点F１,F２叫做椭圆的焦点． ２．椭圆的标准方程 (１)中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆 的标准方程为x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)． (２)中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆 的标准方程为y ２ a２ ＋x ２ b２ ＝１(a＞b＞０)． ３．椭圆的几何性质 标准方程 x２ a２ ＋y ２ b２ ＝１ (a＞b＞０) y２ a２ ＋x ２ b２ ＝１ (a＞b＞０) 范围 |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a 对称性 关于x轴,y轴对称,关于原点中心 对称 顶点坐标 (a,０),(－a,０), (０,b),(０,－b) (b,０),(－b,０) (０,a),(０,－a) 焦点坐标 　　　　 　　　　 半轴长 长半轴长为a,短半轴长为b,a＞b 离心率 e＝ca (０＜e＜１) a,b,c 的关系 a２＝　　　　 １．焦半径:椭圆上的点P(x０,y０)与左(下)焦 点F１与右(上)焦点F２之间的线段的长度叫 做椭圆的焦半径,分别记作r１＝|PF１|, r２＝|PF２|． (１)x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０),r１＝a＋ex０,r２＝ a－ex０; (２)y ２ a２ ＋x ２ b２ ＝１(a＞b＞０),r１＝a＋ey０,r２＝ a－ey０; (３)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和 最小(近日点与远日点)． ２．焦点三角形:椭圆上的点P(x０,y０)与两焦 点 构 成 的 △PF１F２ 叫 做 焦 点 三 角 形, ∠F１PF２＝θ,△PF１F２的面积为S,则在椭 圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)中 (１)当P 为短轴端点时,θ最大． (２)S＝１２|PF１||PF２| 􀅰sinθ＝b２tanθ２＝ c|y０|,当|y０|＝b时,即点P 为短轴端点时, S取最大值,最大值为bc． (３)焦点三角形的周长为２(a＋c)． ３．焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂 直于长轴的焦点弦)最短,弦长lmin＝ ２b２ a ． ４．AB 为椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的弦, A(x１,y１),B(x２,y２),弦中点M(x０,y０),则 (１)弦长l＝ １＋k２|x１－x２|＝ １＋ １ k２ |y１－ y２|; (２)直线AB 的斜率kAB＝－ b２x０ a２y０ ． ５．离心率的常见形式: (１)e＝ca＝ ２c ２a＝ |F１F２| |PF１|＋|PF２| ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２􀅰 (２)e＝ca＝ a２－b２ a２ ＝ １－b ２ a２ ; (３)F１,F２ 为椭圆的左、右焦点,P为椭圆上一 点,在△F１PF２ 中,设|PF１|＝r１,|PF２|＝r２, ∠PF１F２＝α,∠PF２F１＝β,则e＝ sin(α＋β) sinα＋sinβ ． １．(多选)下列说法中错误的是 (　　) A．已知F１(－４,０),F２(４,０),平面内到F１, F２两点的距离之和等于８的点的轨迹是 椭圆 B．已知F１(－４,０),F２(４,０),平面内到F１, F２两点的距离之和等于６的点的轨迹是 椭圆 C．平面内到点F１(－４,０),F２(４,０)两点的 距离之和等于点 M(５,３)到F１,F２的距 离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F１(－４,０),F２(４,０)距离相 等的点的轨迹是椭圆 ２．已知P 为椭圆C 上一点,F１,F２为椭圆的焦 点,且|F１F２|＝２ ３．若|PF１|＋|PF２|＝ ２|F１F２|,则椭圆C的标准方程为 (　　) A．x ２ １２＋ y２ ９＝１ B．x ２ １２＋ y２ ９＝１ 或x ２ ９＋ y２ １２＝１ C．x ２ ９＋ y２ １２＝１ D．x ２ ４８＋ y２ ４５＝１ 或x ２ ４５＋ y２ ４８＝１ ３．已知椭圆x２＋ y ２ b２＋１ ＝１(b＞０)的离心率为 １０ １０ ,则b等于 (　　) A．３　　　　　　　　B．１３ C．９