高效作业三 空间向量基本定理-【优化探究】2023-2024学年高二数学寒假高效作业（人教A版2019）

高效作业三　空间向量基本定理 １．空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一 个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x, y,z),使得p＝　　　　　　　　． 其中{a,b,c}叫做空间的一个　　　　,a, b,c都叫做基向量．空间任意三个不共面的 向量都可以构成空间的一个基底． ２．正交分解 (１)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量　　 　　　　,且长度都是　　,那么这个基底 叫做单位正交基底．常用{i,j,k}表示． (２)正交分解 把一个空间向量分解为三个　　　　　　 的向量,叫做把空间向量进行正交分解． １．空间任意三个不共面的向量都可构成空间 的一个基底． ２．由于０与任意一个非零向量共线,与任意两 个非零向量共面,故０不能作为基向量． ３．基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯 一表示． １．若向量{a,b,c}是空间的一个基底,则一定 可以与向量p＝２a＋b,q＝２a－b构成空间 的另一个基底的向量是 (　　) A．a　　　B．b　　　C．c　　　D．a＋b ２．在平行六面体ABCDＧA１B１C１D１中,M 是上底 面对角线 AC 与 BD 的交点,若A１B１ → ＝a, A１D１ →＝b,A１A →＝c,则B１M →可表示为 (　　) A．１２a＋ １ ２b＋c B． １ ２a－ １ ２b＋c C．－１２a－ １ ２b＋c D．－ １ ２a＋ １ ２b＋c ３．若向量MA→,MB→,MC→的起点M 与终点A,B,C 互不重合,且点M,A,B,C中无三点共线,满足 下列关系(O是空间任一点),则能使向量MA→, MB→,MC→成为空间一个基底的关系是 (　　) A．OM→＝１３OA →＋１３OB →＋１３OC → B．MA→≠MB→＋MC→ C．OM→＝OA→＋OB→＋OC→ D．MA→＝２MB→－MC→ ４．(多选)设a,b,c是空间的一个基底 (　　) A．若a⊥b,b⊥c,则a⊥c B．则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面 C．对空间任一向量p,总存在有序实数组 (x,y,z),使p＝xa＋yb＋zc D．则a＋b,b＋c,c＋a一定能构成空间的一 个基底 ５．在空间四边形OABC 中,OA→＝a,OB→＝b, OC→＝c,点M 在OA 上,且OM→＝２MA→,N 为 BC 的中点,则MN→为 (　　) A．１２a－ ２ ３b＋ １ ２c B．－ ２ ３a＋ １ ２b＋ １ ２c C．１２a＋ １ ２b－ ２ ３c D． ２ ３a＋ ２ ３b－ １ ２c ６．已知{e１,e２,e３}为空间的一个基底,若a＝e１ ＋e２＋e３,b＝e１＋e２－e３,c＝e１－e２＋e３, d＝e１＋２e２＋３e３,且d＝αa＋βb＋γc,则α, β,γ分别为 (　　) A．５２ ,－１,－１２ B． ５ ２ ,１,１２ C．－５２ ,１,－１２ D． ５ ２ ,１,－１２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 ７．在四面体OABC中,OA→＝a,OB→＝b,OC→＝c, D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则OE→＝ 　　　　．(用a,b,c表示) ８．已知{a,b,c}是空间的一个单位正交基底, {a＋b,a－b,c}是空间的另一个基底,若向 量m 在基底{a,b,c}下表示为m＝３a＋５b＋ ９c,则m 在基底{a＋b,a－b,３c}下可表示为 m＝　　　　． ９．已知空间的一个基底{a,b,c},m＝a－b＋c, n＝xa＋yb＋c．若m 与n 共线,则x＝　　 　　,y＝　　　　． １０．如 图 所 示,在 平 行 六 面 体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,M 是 A１C１ 与B１D１ 的交点,若存在 实数x,y,z,使 向 量BM → ＝ xAB→＋yAD →＋zAA１ →,则x＋２y＋３z＝ 　　　　． １１．如图所示,在正方体OABCＧO′A′B′C′中, OA→＝a,OC→＝b,OO′→＝c． (１)用a,b,c表示向量OB′→,AC′→; (２)设G,H 分别是侧面BB′C′C 和O′A′B′C′ 的中心,用a,b,c表示GH→． １２．在平行六面体