高效作业六 用空间向量研究距离、夹角问题-【优化探究】2023-2024学年高二数学寒假高效作业（人教A版2019）

高效作业六　用空间向量研究距离、夹角问题 １．空间角的向量求法 角的分类 向量求法 范围 两异面直线 l１与l２所成 的角为θ 设l１与l２的方向向量 分别为u,v,则cosθ ＝　　　　　　　　 ＝　　　　　　　　 ０,π２ æ è ç ] 直线l与平 面α所成的 角为θ 设l的方向向量为u, 平面α 的 法 向 量 为 n,则sinθ＝　　 　 　　　　　＝　　　 　　　　　 ０,π２[ ] 平面α与平 面β的夹角 为θ 设平面α,β的法向量 分 别 为 n１,n２,则 cosθ＝ 　 　 　 　 　 　　　＝　　　　　 　　　 ０,π２ æ è ç ] ２．空间距离的向量求法 分类 向量求法 两点距 设A,B 为空间中的任意两点,则d＝ 　　　　 点线距 设直线l的单位方向向量为u,A∈l, P∉l,设AP→＝a,则点P 到直线l的距 离d＝　　　　　　 续表 分类 向量求法 点面距 已知平面α的法向量为n,A∈α,P∉ α,则点P 到平面α的距离为d＝　　 　　　　 １．如图,在正四棱柱 ABCDＧA１B１C１D１中, AA１＝２AB,则异面直线A１B 与AD１所成 角的余弦值为 (　　) A．１５ B． ２ ５ C．３５ D． ４ ５ ２．在空间直角坐标系中有长方体 ABCDＧ A１B１C１D１,AB＝１,BC＝２,AA１＝３,则点B 到直线A１C的距离为 (　　) A．２７ B． ２ ３５ ７ C．３５７ D．１ ３．已知在长方体ABCDＧA１B１C１D１中,AD＝ AA１＝１,AB＝３,E 为线段AB 上一点,且 AE＝１３AB ,则DC１与平面D１EC 所成角的 正弦值为 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１􀅰 A．３ ３５３５ B． ２ ７ ７ C．３３ D． ２ ４ ４．如图所示,在长方体ABCDＧA１B１C１D１中, AD＝AA１＝１,AB＝２,点E 是棱AB 的中 点,则点E 到平面ACD１的距离为 (　　) A．１２ B． ２ ２ C．１３ D． １ ６ ５．如图所示,已知在四棱锥PＧABCD 中,底 面ABCD 是 菱 形,且 PA⊥ 平 面 ABCD, PA＝AD＝AC,点F 为PC 的中点,则二 面角CＧBFＧD 的正切值为 (　　) A．３６ B． ３ ４ C．３３ D． ２ ３ ３ ６．三棱柱 ABCＧA１B１C１ 的侧棱与底面垂直, AA１＝AB＝AC＝１,AB⊥AC,N 是BC 的 中点,点 P 在 A１B１ 上,且 满 足A１P → ＝ λA１B１ →,则直线PN 与平面ABC 所成角θ 取最大值时λ的值为 (　　) A．１２ B． ２ ２ C．３２ D． ２ ５ ５ ７．若直线l的方向向量a＝(－２,３,１),平面α 的一个法向量n＝(４,０,１),则直线l与平面 α所成角的正弦值为　　　　． ８．在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般 方程为Ax＋By＋Cz＋D＝０(A,B,C,D∈ R,且A,B,C不同时为零),点P(x０,y０,z０) 到 平 面 α 的 距 离 d ＝ |Ax０＋By０＋Cz０＋D| A２＋B２＋C２ ,则在底面边长与高 都为２的正四棱锥中,底面中心O 到侧面的 距离等于　　　　． ９．如图,在四棱锥PＧABCD 中,底面ABCD 是 矩形,PD⊥平面 ABCD 且PD＝AD＝１, AB＝２,点 E 是线段AB 上一点．当平面 PEC 与平面ABCD 的夹角为π４ 时,AE＝ 　　　　,这时,点D 到平面PEC 的距离为 　　　　． １０．在空间中,已知平面α过点(３,０,０)和(０,４,０) 及z轴上一点(０,０,a)(a＞０),如果平面α与 平面Oxy的夹角为４５°,则a＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋