第七章 计数原理（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第二册）

第七章 计数原理（知识归纳+题型突破） 1.通过实例，了解分类计数原理、分步计数原理及其意义. 2.理解分类计数原理与分步计数原理. 3.进一步理解分类计数原理和分步计数原理的区别. 4.会正确应用这两个计数原理计数. 5.通过实例，理解排列的概念. 6.能利用计数原理推导排列数公式. 7.掌握几种有限制条件的排列. 8.能应用排列解决简单的实际问题. 9.通过实例理解组合的概念. 10.能利用计数原理推导组合数公式，并会解决简单的组合问题. 11.理解组合数的性质.能解决有限制条件的组合问题. 12.能解决有关排列与组合的简单综合问题. 13.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 14.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 15.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 16.理解二项式系数的性质并灵活运用. 1. 分类计数原理 如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法. 　(1)分类计数原理中各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，用任何一类方案中的任何一种方法都可以单独完成一件事. (2)分类计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类，不同类的任意两种方法是不同的，这是分类问题中所要求的“不重复”“不遗漏”. 2. 分步计数原理 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法. (1)分步时，要先根据问题的特点确定一个分步的标准，一般地，标准不同，分成的步骤数也会不同. (2)分步时还要注意：完成一件事必须连续完成n个步骤后这件事才算完成，各步骤之间既不能重复也不能遗漏. 3. 分类计数原理和分步计数原理的联系　 分类计数原理 分步计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种类 不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 4. 排列的定义 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (1)要求m≤n. (2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同. 5. 排列数公式 (1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示. (2)排列数公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n，m∈N*，且m≤n. (3)n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排列.在排列数公式中，当m＝n时，即有A＝n(n－1)(n－2)×…×3×2×1，n(n－1)(n－2)×…×3×2×1称为n的阶乘，通常用n！表示，即A＝n！. (4)规定0！＝1. 排列数公式还可以写成A＝. 注意：　(1)注意排列数公式的特征，m个自然数之积，其中最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1. (2)规定0！＝1，这是一种规定，不能按阶乘的定义作解释，但可以从更原始的概念作出说明：一个元素都不取，构成的排列的情形只有1种. 6. 排列问题的方法 (1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法). (2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数. 7. 组合的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 8. 排列与组合的区别与联系 (1)共同点：两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象. (2)不同点：排列与对象的顺序有关，组合与对象的顺序无关. (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. 9. 组合数及组合数公式 组合数定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示 组合数公式 乘积 形式 C＝＝ 阶乘 形式 C＝ (1)C＝1. (2)C＝＝常用于计算. (3)C＝常用于证明. 10.(a＋b)2的展开式 (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2ab＋b2. 二项式定理 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rb