第七章 计数原理（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第二册）

第七章 计数原理（压轴题专练） 题型一　无限制条件的排列问题 【例1】12名选手参加校园歌手大奖比赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有多少种不同的获奖情况？ 思维升华　解简单排列应用题的思路 (1)认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序； (2)如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件； (3)运用排列数公式求解. 巩固训练 1.一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有________种排法. 题型二　元素的“在”与“不在”问题 【例2】六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端. 思维升华　“在”与“不在”问题的解决方法 巩固训练 1.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种. 题型三　“相邻”与“不相邻”问题 【例3】4个男同学和3个女同学(其中含甲、乙、丙)站成一排. (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？ (3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？ 思维升华　处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则. (1)元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列. (2)元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素. 巩固训练 1.分别求出符合下列要求的不同排法的种数. (1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人； (2)6名学生排成一排，其中甲、乙不能分开； (3)6人排成一排，其中甲、乙不相邻. 题型四　定序问题 【例4】某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相. (1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ (2)3位老者与2位年轻人都要分别按从大到小的顺序出场，顺序有多少种？ 思维升华　在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种： (1)整体法，即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法. (2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中. 巩固训练 1.五个人排成一排，求满足下列条件的不同排列各有多少种. (1)A，B，C三人左中右顺序不变(不一定相邻)； (2)A在B的左边且C在D的右边(可以不相邻). 题型五　排列与组合的应用 【例5】6个女学生(其中有1个领唱)和2个男学生分成两排表演. (1)若每排4人，共有多少种不同的排法？ (2)领唱站在前排，男学生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？ 巩固训练 1.某局安排3位副局长带5名职员去3地调研，每地至少去1名副局长和1名职员，则不同的安排方法种数为________. 题型六　二项式定理的应用 【例6】(1)若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 (2)已知的展开式中倒数第三项的系数为45. ①求含有x3的项； ②求系数最大的项. 巩固训练 1.已知展开式的二项式系数之和为256. (1)求n； (2)若展开式中常数项为，求m的值； (3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况. 题型七　分类讨论思想 【例7】从编号为1，2，3，…，10，11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数为(　　) A.236 B.328 C.462 D.2 640 巩固训练 1.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　) A.36种 B.42种 C.48种 D.54种 题型八　正难则反思想 【例8】对于各数不相等的正整数组(i1，i2，…，in)(n是不小于2的正整数)，如果在p>q时有ip>iq，则