第十章 三角恒等变换（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第二册）

第十章 三角恒等变换（知识归纳+题型突破） 1.了解两角差的余弦公式的推导过程． 2.能利用公式进行计算、化简及求值． 3.理解两角和与差的正弦公式的推导过程． 4.能够运用两角和与差的正弦公式解决求值、化简等问题． 5.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式． 6.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明． 7.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式． 8.能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题． 9.了解积化和差公式及其推导过程． 10.了解和差化积公式及其推导过程． 11.了解半角公式及其推导过程． 1．两角和与差的余弦公式 名称 公式 简记符号 条件 两角差的余弦 cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α－β) α，β∈R 两角和的余弦 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β C(α＋β) 2.两角和与差的正弦公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正弦 sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β S(α＋β) α，β为任意角 两角差的正弦 sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β S(α－β) 3.两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和 的正切 tan (α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差 的正切 tan (α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 4.两角和与差的正、余弦公式推导tan (α＋β)与tan (α－β): 提示：tan (α＋β)＝＝ ＝＝. tan (α－β)＝＝ ＝＝. 5.二倍角的正弦、余弦、正切公式 名称 公式 推导 记法 正弦 sin 2α＝2sin αcos α S(α＋β)S2α S2α 余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α ＝2cos2α－1＝1－2sin2α C(α＋β)C2α 利用sin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2α C2α 正切 tan2α＝ T(α＋β)T2α T2α 6．积化和差公式 (1)sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； (2)cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]； (3)cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]； (4)sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]． 一是注意公式的推导过程；二是简记为“积化和差，系数半拉，前面是和，后面是差” 7．和差化积公式 (1)sin α＋sin β＝2sin cos ； (2)sin α－sin β＝2cos sin ； (3)cos α＋cos β＝2cos cos ； (4)cos α－cos β＝－2sin sin ． 8．半角公式 (1)sin ＝±； (2)cos ＝±； (3)tan ＝±＝＝． 题型一　两角和与差的余弦公式的简单应用 【例1】求下列各式的值： (1)cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°； (2)sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°； (3)sin 164°sin 224°＋sin 254°sin 314°； (4)sin (α－β)sin (β－γ)－cos (α－β)cos (γ－β). 思维升华 利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的和与差，正用公式直接求解． (2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．　 巩固训练 1.化简下列三角函数的值： (1)cos 15°－sin 15°； (2)cos cos θ＋sin sin θ. 题型二　利用两角和与差的余弦公式给值求值 【例2】(1)已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos (α－β)和cos (α＋β)的值． (2)已知α，β∈，且sin α＝，cos (α＋β)＝－，求cos β的值． 思维升华 给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换． (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).　 巩固训练 1.已知α，β∈，且sin α＝，cos (α＋β)＝－，求cos β的值． 2.已知＜β＜α＜，cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值． 题型