第十章 三角恒等变换（压轴题专练）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第二册）

第十章 三角恒等变换（压轴题专练） 题型一　三角函数求值 【例1】　(1)的值为(　　) A．－ B. C. D．－ 思维升华 三角函数的求值问题通常包括三种类型，即给角求值，给值求值，给值求角．给角求值的关键是将要求角转化为特殊角的三角函数值；给值求值关键是找准要求角与已知角之间的联系，合理进行拆角、凑角；给值求角实质是给值求值，先求角的某一三角函数值，再确定角的范围，从而求出角． 巩固训练 1.已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为(　　) A. B. C. D．1 题型二　三角函数式的求值 【例2】已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－. (1)求cos 2α的值； (2)求tan (α－β)的值． 思维升华 三角函数式求值的三种常见类型 (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式． (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围． (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．　 巩固训练 1.已知sin α＋cos α＝，α∈(0，)，sin (β－)＝，β∈(，). (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos (α＋2β)的值． 题型三　三角函数式的化简与证明 【例3】化简：. 思维升华 三角函数的化简常用的策略有：切化弦、异名化同名、降幂公式、1的代换等，化简的结果应做到项数尽可能少，次数尽可能低，函数名尽量统一． 三角函数的证明常用的方法有：从左向右(或从右向左)，一般由繁向简；从两边向中间，左右归一法；作差证明，证明“左边－右边＝0”；左右分子、分母交叉相乘，证明差值为0等． 2.求证：＝. 题型四　三角恒等变换与三角函数、向量的综合运用 【例4】已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝. (1)求cos(α－β)的值； (2)若－<β<0<α<，且sin β＝－，求sin α的值． 思维升华 解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化、角的代换)的运用，还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用． 巩固训练 1.已知函数f(x)＝cos＋sin2x－cos2x＋2sin xcos x. (1)化简f(x)； (2)若f(α)＝，2α是第一象限角，求sin 2α. 题型五　三角函数公式的综合应用 【例5】已知函数f(x)＝. (1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间． 思维升华 解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化、角的代换)的运用；还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用．　 巩固训练 1.已知函数f(x)＝cos ·cos －sin x cos x＋. (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值； (2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间． 题型六　三角恒等变换的实际应用 【例6】如图，将一块圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法，让矩形一边在扇形的半径OA上(如图①)或让矩形一边与弦AB平行(如图②)，请问哪种裁法得到的矩形的最大面积最大？请求出这个最大值． 思维升华 建立关于三角函数的解析式，通过降幂公式、辅助角公式转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，利用三角函数的性质求值． 巩固训练 1. 如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 三角恒等变换（压轴题专练） 题型一　三角函数求值 【例1】　(1)的值为(　　)