湖北省部分重点中学2024届高三第二次联考数学试题

湖北省部分重点中学2024届高三第二次联考 高三数学试卷 试卷满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（ ） A．3 B． C．7 D．13 3．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（ ） A． B．32π C． D． 4．在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 5．若，则（ ） A． B． C． D． 6．设A，B为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ） A． B． C． D． 7．已知对任意恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．斜率为的直线l经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于A，B两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。 9．下列结论正确的是（ ） A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 B．若随机变量，满足，则 C．若随机变量，且，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X与Y有关） 10．下列命题正确的是（ ） A．若、均为等比数列且公比相等，则也是等比数列 B．若为等比数列，其前n项和为，则，，成等比数列 C．若为等比数列，其前n项和为，则，，成等比数列 D．若数列的前n项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件 11．已知，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 12．已知四棱锥，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为平面ABCD内一点，且，点N为平面PAB内一点，，下列说法正确的是（ ） A．存在入使得直线PB与AM所成角为 B．不存在使得平面平面PBM C．若，则以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥各面的交线长为 D．三棱锥外接球体积最小值为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．的展开式中的系数为______． 14．与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为______． 15．已知函数，若，则实数a的取值范围为______． 16．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则______；若，则的最大值为______． 四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分10分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，BC边的中线长为2． （1）求角A； （2）求边a的最小值． 18．（本题满分12分） 已知等比数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 19．（本题满分12分） 如图，在三棱柱中，底面是边长为6的等边三角形，，，D，E分别是线段AC，的中点，平面平面． （1）求证：平面BDE； （2）若点P为线段上的中点，求平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值． 20．（本题满分12分） 已知椭圆的左焦点为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过作一条斜率不为0的直线PQ交椭圆于P、Q两点，D为椭圆的左顶点，若直线DP、DQ与直线分别交于M、N两点，l与x轴的交点为R，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 21．（本题满分12分） 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为． （1）求的概率分布列并求； （2）求证：为等比数列，并求出． 22．（本题满分12分） 已知函数，． （1）当时，求证：； （2）函数有两个极值点，其中，求证：． 湖北省部分重点中学2024届高三第二次联考 高三数学试卷参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8