2024年中考数学第一轮复习培优（山西卷）专题六分式方程及应用

2024年中考数学第一轮复习培优讲义（山西卷） 第二章 方程（组）与不等式（组） 专题六 分式方程及其应用 1、 考点精讲 1.分式方程的定义 分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 注意：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量. （2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程. 2.分式方程的解法 去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程； (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根. 注意：口诀：“一化二解三检验”. 解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根． 分式方程的增根与无解不是同一个概念，分式方程无解可能是产生增根无解，也可能是转化成整式方程无解。 4.分式方程的应用 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答数是否符合题意，并做答． 数学思想：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想． 注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 2、 真题及拓展 分析山西三年中考真题，这部分考题的考查形式多样，主要考查分式方程的解法分式方程的应用，在命题点下拓展其他新的考查形式，形式上年年有创新，年年有新意。从山西近8年真题分析，八年六考，发现命题同样存在继承性，重点内容重点考，所以注意变式训练。 高频考点 1.解分式方程 2．（2023年山西中考）解方程：. 2.（2015山西中考）解方程： 【答案】； 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程一定注意要验根． 两边都乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，代入最简公分母检验即可； 创新考法 3．小明解分式方程的过程下. 解：去分母，得.① 去括号，得.② 移项、合并同类项，得.③ 化系数为1，得.④ 以上步骤中，开始出错的一步是( ) A.① B.② C.③ D.④ 4．若关于x的方程与有一个解相同,则a的值为( ) A.1 B.1或-3 C.-1 D.-1或3 5．若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为______________. 2. 分式方程的应用 1.（2016山西中考）甲、乙两个搬运工搬运某种货物,已知乙比甲每小时多搬运,甲搬运所用的时间与乙搬运所用的时间相等,求甲、乙两人每小时分别搬运多少货物.设甲每小时搬运货物,则可列方程为(   ) A. B. C. D. 2 .（2022山西中考）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势.经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油车平均每千米的加油费少0.6元.若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费. 3. （2021山西中考）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线.游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟.求走路线一到达太原机场需要多长时间. 4 .（2018山西中考）2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好.已知“太原南——北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的（两列车中途停留时间均除外）.经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间. 创新考法 5 .甲队修路500米与乙队修路800米所用天数相同，乙队比甲队每天多修30米，问甲队每天