函数的值域的求法讲义-2024届高三数学一轮复习

函数的值域的求法总结 函数的定义域和对应法则确定的前提下,绝大数的函数值域是可以求的。本专题研究某几个形式的基本初等函数的值域,讲述分离常数、几何法、换元法和单调性法这几种普遍的方法。 求函数值域的方法总结: 1、 观察法。对于一些简单的函数,可以通过定义域及对应关系观察的方法来确定函数的值域。 2、 配方法。求形如的函数的值域采用配方法来解决,但要注意g(x)的范围。 三、分离常数法。求分式型函数,常用分离。常数法求值域。 四、判别式法。求形如,如可将函数化为关于自变量的一元二次方程,利用判别式求函数的值域。 五、反表示法。根据函数解析式反解出x,根据x的取值范围转化为y的不等式或者不等式组,求解。 六、换元法。对于一些无理函数常通过换元的方法将其转化为有理函数,然后利用有理函数求值域的方法求出原函数的值域 七、数形结合法。当函数的图像容易做时适用此方法 八、基本不等式法。形如的值域求解,可用此法。 方法举例: (1) 简单函数的值域求法 (1)分段函数 例题1.已知函数,则函数的值域为 解析:当时,的值域为; 当时,单调递增,最小值为2,无最大值,此时的值域为 所以函数的值域为 例题2、若函数的值域是,则实数的取值范围是 解、当时,的值域为; 因为整个函数的值域为,所以当时,函数的值域应包含于; 因为单调递减,所以只需=a-2,解得 (2)复合函数 例题3、函数的值域为( ) 解析、令,则原函数化为: 所以,选B 例题4、已知函数,若对任意的,不等式恒成立,求实数的最大值。 解、由且 所以,即 令,则在上恒成立,即 例题5、已知函数则函数的值域为 解:函数的定义域为 令,两边平方可得: 所以,则 原函数化为:, 显然:,,所以值域 例题6、已知函数,则函数的值域为 解、令,由,则 再对平方得 原函数化为:, ,再令,显然在上递增, 故,,所以值域 (2) 根式型值域 例题7、已知函数,则函数的值域为 函数定义域为R 值域转化为的最值, 因为 所以函数的值域为 例题8、已知函数,则函数的值域为 法一、函数定义域为 函数在定义域内单调递增,,值域 法二、令,则,从而 在内单调递增,,值域 例题9、已知函数,则函数的值域为 解、法一、已知定义域为,两边平方, 因为,所以函数的值域为 法二、因为 令, 原函数化为:, 所以 例题10、已知函数,则函数的值域为 解、函数变形为 令, 原函数化为: 所以 例题11、已知函数,则函数的值域为 解、令 原函数化为: 所以 例题11、已知函数,则函数的值域为 解、已知函数的定义域为 函数有理化变形为 分母在定义域内单调递增,可得函数的值域为 例题12、已知函数,则函数的值域为 解、易知函数定义域为R, 几何意义是动点P(x,0)到两个定点A(-1,1),B(1,1)的距离之和。做出点A(-1,1)关于x轴的对称点A’(-1,-1),A’B交x轴于点P(0,0),此时A’B就是PA与PB长度之和的最小值为如图,函数的值域 (3) 分式型值域 分式型的常见形式: (1) 分子0次型,先求出分母的值域,通过取倒数就可以得到的值域。 (2) 分子分母一次齐次型,先分离出一个常数,变成分子0次型,再用分子0次型方法解得值域。 (3) 分子二次分母一次型,即(a为常数),当a>0是对钩函数,当a<0是“飘带”函数。 例题13、已知函数,则函数的值域为 解、分式型函数首先要确定分子与分母的次数,若是齐次性,则需要分离常数。 因为:,所以,即函数的值域为 例题14、已知函数,则函数的值域为 解、此时,分子分母次数不一致,分离常数失效,因此考虑分离变量是化简结果,往对勾函数靠 根据对勾函数的图像可知或 函数的值域为 例题15、已知函数,则函数的值域为 法一、本例是分子次数为一次,分母次数为二次,常用的办法就是除分子使得分母变成对勾函数,需要特别注意的是要考虑分子是否为零。 恒成立,所以定义域为R。 令,则, (1) 当t=0 时, (2) 当,或 所以且 综上,数的值域为 法二、恒成立,所以定义域为R。 则等价于在R上有解 (1) 当y=0时,解得x=-1 (2) 当时,则解得且 综上,数的值域为 例题16、已知函数,则函数的值域为 解析:分子与分母的次数相同,需要先分离常数转化为分子为一次型分母为二次函数然后按照例题15方式处理。 例题17、已知函数,则函数的值域为 法一:,表示点与(-3,-1)连线斜率。而点在单位圆上,由圆心(0,0)到直线距离不大于半径1,所以由 ,解得,函数的值域为 学科网(北京)股份有限公司 $$