高效作业三 等式性质与不等式性质、基本不等式-【优化探究】2023-2024学年高一数学寒假高效作业（人教A版）

高效作业三　等式性质与不等式性质、基本不等式 １．两个实数比较大小的基本事实 (１)a－b＞０⇔　　　　． (２)a－b＝０⇔　　　　． (３)a－b＜０⇔　　　　． ２．不等式的性质 名称 性质内容 注意 性质１ 对称性 a＞b⇔b＜a 可逆 性质２ 传递性 a＞b,b＞c⇒a＞c 同向 性质３ 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c 可逆 移项法则 a＋b＞c⇔a＞c－b 可逆 性质４ 可乘性 a＞b, c＞０{ ⇒ac＞bc a＞b, c＜０{ ⇒ac＜bc c的 符号 性质５ 同向 可加性 a＞b, c＞d{ ⇒a＋c＞b＋d 同向 性质６ 同向同正 可乘性 a＞b＞０, c＞d＞０{ ⇒ac＞bd 同向 同正 性质７ 可乘方性 a＞b＞０⇒an＞bn (n∈N∗) 同正 ３．重要不等式与基本不等式 ４．利用基本不等式求最值:已知x,y都是正数 (１)若xy＝P(积为定值),当且仅当x＝y 时,和x＋y取得最　　值２ P． (２)若x＋y＝S(和为定值),当且仅当x＝y 时,积xy取得最　　值S ２ ４． 上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定 积最大． 　不等式的一些常用性质 (１)倒数性质: ①a＞b,ab＞０⇒１a＜ １ b． ②a＜０＜b⇒１a＜ １ b． ③０＜a＜x＜b或a＜x＜b＜０⇒１b＜ １ x＜ １ a． (２)有关分数的性质: 若a＞b＞０,m＞０,则 ①真分数的性质: b a＜ b＋m a＋m ;b a＞ b－m a－m (b－m＞０)． ②假分数的性质: a b＞ a＋m b＋m ;a b＜ a－m b－m (b－m＞０)． (３)几个重要的不等式: ①a２＋b２≥２ab(a,b∈R),当且仅当a＝b时 取等号． ②ab≤ a＋b２ æ è ç ö ø ÷ ２ (a,b∈R),当且仅当a＝b时 取等号． ③a ２＋b２ ２ ≥ a＋b ２ æ è ç ö ø ÷ ２ (a,b∈R),当且仅当a ＝b时取等号． ④ba＋ a b≥２ (a,b同号),当且仅当a＝b时 取等号． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６􀅰 １．已知x＞０,y＞０,M＝ x ２ x＋２y ,N＝４ (x－y) ５ , 则M 和N 大小关系为 (　　) A．M ＞N　　　　　B．M＜N C．M＝N D．以上都有可能 ２．下列不等式中正确的是 (　　) A．a＋４a≥４ B．a ２＋b２≥４ab C．ab≥a＋b２ D．x ２＋３ x２ ≥２ ３ ３．(多选)若a＞０,b＞０,a＋b＝２,则下列不等式 对一切满足条件的a,b恒成立的是 (　　) A．ab≤１ B．a＋b≤ ２ C．a２＋b２≥２ D．a３＋b３≥３ ４．已知正数a,b满足ab＝１０,则２a＋５b的最 小值是 (　　) A．１０ B．２０ C．１５ D．２５ ５．(多选)设正实数a,b满足a＋b＝１,则(　　) A．１a＋ １ b 有最小值４ B．ab有最小值１２ C．a＋b有最大值１ D．a２＋b２ 有最小值１２ ６．已知m＞０,xy＞０,当x＋y＝２时,不等式４x ＋my≥ ９ ２ 恒成立,则m 的取值范围是 (　　) A．１２ ,＋∞é ë êê ö ø ÷ B．[１,＋∞) C．(０,１] D．０,１２ æ è ç ù û úú ７．已知a＞０,b＞０,则p＝b ２ a－a 与q＝b－a ２ b 的大小关系是　　　　． ８．给出下列不等式:①a２＋２＞２a,②a２＋b２≥ ２(a－b－１),③a＋b２ ≥ ab ,其中恒成立的是 　　　　． ９．当x＞３时,２x ２ x－３ 的最小值为　　　　． １０．如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建为一个更大 的矩形花坛AMPN,要 求点B 在AM 上,点D 在AN 上,且对角 线MN 过点C,已知AB＝４米,AD＝３米, 当BM＝　　　　时,矩形花坛AMPN 的 面积最小． １１．(１)已知a＞０,b＞０,且a＋b＝２,求b(１＋ a)的最大值; (２)已知正数x,y,满足２x＋y＝４,求１x＋ １ y 的最小值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋