6.2.3平面向量的坐标及其运算-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第二册）

6.2.3平面向量的坐标及其运算 题型1正交分解的理解 2 题型2用坐标表示平面向量 3 题型3平面向量线性运算的坐标表示 5 题型4由向量线性运算求参数 6 题型5向量线段的定比分点 6 题型6向量共线问题 8 题型7由向量共线（平行）求参数 9 题型8由坐标解决三点共线问题 9 题型9由坐标解决线段长度问题 10 题型10向量坐标与基底 11 题型11参数与取值范围问题 11 知识点.平面向量的坐标及运算 1.平面向量的坐标 （1）向量的垂直：平面上的两个非零向量 a，b，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a，b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直. （2）向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，则称这组基底为正交基底，在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解． （3）向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a=xe1+ye2,则称（x，y）为向量a的坐标，记作a=（x，y） 2.平面上向量的运算与坐标的关系 若a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ∈R，则： (1)a+b=(x1+x2,y1+y2) (2)a-b=(x1-x2,y1-y2) (3)λa=（λx1，λy1）. （4）向量相等的充要条件：a=bx1=x2,y1=y2. （5）模长公式： 3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 如图所示，在平面直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2），则： （1） 向量=（x1，y1），=（x2，y2），向量 （2）它们之间的距离：AB= （3）设AB的中点M（x，y），则,. 注意： （1）一个向量的坐标等于__  表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标____﹔ （2）两个向量相等的充要条件是这两个向量的坐标相等． 4. 向量平行的坐标表示 设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a//bx2y1=x1y2. 题型1正交分解的理解 【例题1】（2019·高一课时练习）下列可作为正交分解的基底的是 A．等边三角形中的和 B．锐角三角形中的和 C．以角A为直角的直角三角形中的和 D．钝角三角形中的和 【变式1-1】1．（2022·全国·高一专题练习）向量正交分解中，两基底的夹角等于（   ） A．45° B．90° C．180° D．不确定 【变式1-1】2.（2021下·高一课时练习）已知向量在正方形网格中的位置如图所示,用基底表示,则（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】3．（2021下·高一课时练习）向量的坐标表示为 ；坐标为的向量，用正交分解表示为 . 【变式1-1】4（2021下·高一课时练习）已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 题型2用坐标表示平面向量 【方法总结】 （1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标 （2）在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标 【例题2】（2023·全国·高一随堂练习）已知，两点的坐标，求，的坐标． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【变式2-1】1. （2023·全国·高一课堂例题）如图，已知的三个顶点为，求顶点D的坐标．    【变式2-1】2. （2023·全国·高一课堂例题）如图，已知，，，，求向量，，，的坐标．    【变式2-1】3.（2023下·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）如图，平面上，，三点的坐标分别为,,. (1)写出向量，，的坐标； (2)如果四边形是平行四边形，求的坐标. 题型3平面向量线性运算的坐标表示 【例题3】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】1. （2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）平行四边形中，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】2. （2023·全国·高一随堂练习）已知，，求，，的坐标． 【变式3-1】3. （2023下·浙江嘉兴·高一校联考期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】4．（2021·高一课时练习）已知向量，，，求： (1)； (2)； (3)的单位向量． 题型4由向量线性运算求参数 【例题4】（2023下·北京大兴·高一统考期末）已知向量与，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】1．（2022·高一课时练习）已知向量，， 若 （）， 则的值为（    ） A．3