6.1.4&6.1.5数乘向量与向量的线性运算-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第二册）

6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算 题型1数乘向量的概念 3 题型2向量的数乘运算 4 题型3向量共线定理证明点共线问题 5 题型4向量共线定理证明线平行问题 6 题型5已知向量共线（平行）求参数 6 ◆类型1向量共线 6 ◆类型2三点共线 7 题型6向量的线性表示 7 ◆类型1简单的线性表示 8 ◆类型2 三点共线在线性表示中的应用 9 知识点一.数乘向量 1..数乘向量的定义 定义 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，实数λ与向量a相乘的预算简称为数乘向量. 模 当λ≠0且a≠0，λa的模为|λ||a|. 方向 当λ＞0且a≠0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ＜0且a≠0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ=0且a=0时，λa=0. 2.数乘向量的几何意义 把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. 3. λ(μ a)＝(λμ)a 当λ和μ都是实数，且a是向量时：μa是向量，λ（μa）也是向量；λμ是实数，但（λu）a是向量.可以看出λ（μ a）=(λμ)a. 4.数乘向量的运算律： 设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μ a)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. 5.向量的线性运算： 概念 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算向量线性运算的结果仍是向量．向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 规则 向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项 注意：λa=0，有下列三种情况： ①；②；③。 知识点二.向量共线定理 1.向量共线的条件： （1）当向量a=0时，a与任一向量b共线. （2）当向量：a≠0，对于向量b.如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知b与a共线.反之，已知向量b与a（a≠0）共线且向量b的长度是向量a的长度的|λ|倍，即|b|=|λ||a|，那么当b与a同向时，b=λa；当b与a反向时b=-λa. 2.向量共线的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使b=λa，则向量b与非零向量a共线. 3.向量共线的性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使b=λa. 注意: （1） 两个向量定理中向量a均为非零向量，即两定理均不包括0与0共线的情况； （2） a≠0是必要条件，否则a=0，b≠0时，虽然b与a共线但不存在λ使b=λa； （3）有且只有一个实数λ，使b=λa. （4）b//ab=λa（a≠0）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 4. 向量共线定理的推论： (1)三点共线：一般地，如果存在实数λ，使得=λ，则与平行且有_公共点A__，从而A，B，C 三点一定共线. (2)对于共面向量，，，=x+y，则三点共线的充要条件是x+y=1. (3)推论：对于不共线的向量，，若=x+y，则 ①点C在直线AB的外侧（不含点0的一侧）的充要条件是x+y>1； ②点C在直线AB的内侧（含点0的一侧）的充要条件是x+y<1. 题型1数乘向量的概念 【方法总结】 对于数乘运算，要认识到任意实数λ与任意向量的乘积λa仍是向量，要明确两向量的关系，应从两方面入手，一是方向，二是大小. 【例题1】（2022上·河南安阳·高二校考开学考试）若，，是任意三个空间向量，，则下列关系式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】1．（2022上·辽宁锦州·高一校联考期末）“实数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【变式1-1】2．（2022下·四川成都·高一校联考期中）对于非零向量，下列选项一定能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】3．（2023上·高二课时练习）已知，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】4. （2023·高一课时练习）已知m、n是实数，、是向量，对于命题： ①     ② ③若，则     ④若，则 其中正确命题的个数是：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2向量的数乘运算 【例题2】（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】1．（2022·高一课时练习）若向量，，则 . 【变式2-1】2.（2023·全国·高一随堂练习）求下列未知