6.1.1向量的概念-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第二册）

6.1.1向量的概念 题型1平面向量的几何表示 3 题型2平面向量概念的辨析 4 题型3相等向量与共线向量 6 知识点一.向量的概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注意: （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 知识点二.向量的表示法 1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2．向量的表示方法： （1）字母表示法：如等. （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 注意: （1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 知识点三.向量的有关概念 1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 注意: （1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2．零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量. 注意: （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量. 注意:在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 知识点四.向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线. 注意: 1.零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. 2.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 题型1平面向量的几何表示 【方法总结】 （1）向量不仅有大小，而且有方向．大小是代数特征，方向是几何特征．看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可. （2）要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点. 【例题1】（2023·全国·高一假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【变式1-1】1. （2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【变式1-1】2. （2022·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量． (1)，点A在点O北偏西45°方向； (2)，点B在点O正南方向． 【变式1-1】3. （2023·高一课时练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1． (1)试以为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为，使． (2)在图中画一个以为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为，且，并说出点的轨迹是什么？ 【变式1-1】4．（2019·高一课时练习）中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘（4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”.若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有 个. 题型2平面向量概念的辨析 【方法总结】解决与向量概念有关问题的方法 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题. 【例题2】（2023下·海南·高一校考期中）下列各物理量表示向量的是（    ） A．质量 B．距度 C．力 D．体