精品解析：河北省2024届高三上学期大数据应用调研联合测评数学试题

河北省2024届高三年级大数据应用调研联合测评 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 设是等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 高斯是德国数学家､天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德､牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数的最大整数，例如，该函数被广泛应用于数论､函数绘图和计算机领域.若函数，则当时，的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（ ） A 1 B. C. D. 2 7. 设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A B. C. D. 8. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 数据第75百分位数为30 B. 已知随机变量服从二项分布，若，则 C. 已知回归直线方程为，若样本中心为，则 D. 若变量和之间的样本相关系数为，则变量和之间的正相关性很小 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. ，函数的最小正周期为 B. C. 方程的解为、 D. 11. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点，则下列说法正确的有（ ） A. 当时， B C. 若直线的倾斜角分别为，则 D. 若点关于轴的对称点为点，则直线必恒过定点 12. 已知函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则 __________. 14. 已知函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为__________. 15. 2023年9月23日，杭州第19届亚运会开幕，在之后举行的射击比赛中，6名志愿者被安排到安检､引导运动员入场､赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则共有种安排方案__________.（用数字作答） 16. 如图所示，已知正方体的棱长为2，点在上，且，动点在正方形内运动（含边界），若，则当取得最小值时，三棱锥外接球的半径为__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 在中，角的平分线与边交于点，且满足. （1）若，求角； （2）若，求证：. 19. 如图1，已知正三角形边长为4，其中，现沿着翻折，将点翻折到点处，使得平面平面为中点，如图2. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 20. 已知函数为常数，过曲线上一点处的切线与轴垂直. （1）求的值及的单调递增区间； （2）若对任意的，使得（是自然对数的底数）恒成立，求实数的取值范围. 21. 已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，若以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于两点，若椭圆经过两点，且直线的斜率之积为. （1）求椭圆方程； （2）点是直线上一动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为. ①求证直线恒过定点，并求出此定点； ②求面积的最小值. 22. 在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平