专题6.5 平面向量的应用【七大题型】-2023-2024学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.5 平面向量的应用【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 用向量解决平面几何中的平行问题】 1 【题型2 用向量解决平面几何中的垂直问题】 3 【题型3 用向量解决夹角问题】 4 【题型4 用向量解决线段的长度问题】 5 【题型5 向量与几何最值】 7 【题型6 向量在几何中的其他应用】 8 【题型7 用向量解决物理中的相关问题】 10 【知识点1 平面几何中的向量方法】 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥=-=0 (≠0). ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：=0+=0. ③求夹角问题，利用夹角公式：==. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||= . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 【题型1 用向量解决平面几何中的平行问题】 【例1】（2023下·全国·高一专题练习）在中，点，分别在线段，上，，.求证：. 【变式1-1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.    【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）在四边形中， ，是上的点，且. 求证： . 【变式1-3】（2023下·全国·高一专题练习）已知在四边形中，，求与分别满足什么条件时，四边形满足下列情况. (1)四边形是等腰梯形； (2)四边形是平行四边形. 【题型2 用向量解决平面几何中的垂直问题】 【例2】（2023下·安徽安庆·高一校考阶段练习）如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：. 【变式2-1】（2023下·河南信阳·高一校联考期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【变式2-2】（2023·高一课时练习）如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H． （1）证明：； （2）当点C在BG的什么位置时，最小？ 【变式2-3】（2023下·山东济南·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【题型3 用向量解决夹角问题】 【例3】（2023·全国·高一专题练习）如图，在中，已知，，，且.求. 【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：. 【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 【变式3-3】（2023下·福建厦门·高一统考期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【题型4 用向量解决线段的长度问题】 【例4】（2023下·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 【变式4-1】（2023·全国·高一专题练习）如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论. 【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）在梯形中，，，点E，F分别是，的中点，求证：. 【变式4-3】（2023下·广东广州·高一校考期中）如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【题型5 向量与几何最值】 【例5】（2023上·江苏常州·高三校考阶段练习）如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（    ）    A． B．-1 C． D．2 【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D