2024年九年级中考数学专题复习——专题14 勾股定理之垂美四边形模型综合应用（3大类型）

中考专题复习——专题14 勾股定理之垂美四边形模型综合应用（3大类型） 解题思路 【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD， 则①AB²＋CD²＝AD²＋BC². ②S四ABCD＝ AC·BD 1．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形内任意一点，连接，则下列结论正确的是（　　　） A． B． C． D． 2．（2023·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的面积最大值是（      ） A．16 B．32 C．36 D．64 3．（2023春·全国·八年级专题练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O，若，，则 ． 4、当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 　 　． 5．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等于 　　． 6．（2022秋·九年级单元测试）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：四边形EFGH是平行四边形． (2)若四边形ABCD的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形EFGH的面积． 7．（2022春·江西上饶·八年级统考期末）定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”． (1)特例感知：如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，如果，，，则______，______． (2)猜想论证：如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明． (3)拓展应用：如图2，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知，，求GE长． 8．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是：　 　（填写序号）； （2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知BC＝6，AB＝10，求GE长． 9．定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”． （1）概念理解：如：图1，四边形ABCD中，BA＝BC，DA＝DC，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2； （3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的长． 10．（2023秋•义乌市校级期中）连接四边形不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线，如图1，四边形ABCD中线段AC、线段BD就是四边形ABCD的对角线．把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系． 猜想结论：（要求用文字语言叙述） 　 　． 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）． （3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE长． 11（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)写出2个所学的特殊四边形是垂美四边形： ， ； (2)性质探究：已知：如图1，四边形是垂美四边形，对角线、相交于点．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰和等腰，连接，，，已知，．求的长． 12．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 　 　． （2）性质探究：如图2，已知四边形ABCD是垂美四边形，试探究其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并写出证明过程．