专题1-5 解三角形综合17类题型（中间线，范围，复合图形）-2023-2024学年高一下学期数学模型·方法·技巧专题突破（人教A版2019必修第二册）

专题1-5 解三角形综合17类题型（中间线，范围，复合图形） 知识点梳理 题型一 角平分线相关计算求值 题型二 中线及等分线相关计算求值 题型三 高线的处理与应用 题型四 其它中间线问题 题型五 二倍角的处理 题型六 复合图形计算求值问题 题型七 解三角形中的范围问题1：面积型（基础型） 题型八 解三角形中的范围问题2：周长型（基础型） 题型九 解三角形中的范围问题3：锐（钝）角限制型 题型十 解三角形中的范围问题4：中线或等分线型 题型十一 解三角形中的范围问题5：角平分线型 题型十二 解三角形中的范围问题6：高线型（定角定高） 题型十三 解三角形中的范围问题7：角非对边型 题型十四 解三角形中的范围问题8：齐次式比值型 题型十五 解三角形中的范围问题9：其它中间线模型相关最值问题 题型十六 解三角形中的范围问题：求角的最值 题型十七 解三角形中的范围问题：四边形中的最值 知识点梳理 中间线的处理通用策略：用2次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即 一、中线或比例端点的处理策略： 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC，及∠A，求中线AD长． 策略一：如图，倍长中线构造全等,再用余弦定理即可 策略二：向量法，,等式两边再进行平方 策略三：两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即 补充：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”也适用，此时需要倍长等分线构造相似 二、高线问题的处理策略： 策略一：等面积法： 策略二：若已知B,C两角的三角函数值，可以考虑作高线AD，得出两个小三角形的三边之比 策略三：（射影定理） 策略四： 三、角平分线问题的处理策略： △ABC中，AD平分∠BAC. 策略一：角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而 整理得 策略二：利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理 ， 策略三：角互补： +, 在△,在△, 四、角对边型周长与面积最值问题的几种解法 例1：△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 且A＝. （1） 若a＝2，求△ABC的周长最大值及取值范围 （2） 若a＝2，求△ABC的面积最大值及取值范围 （3） 若△ABC 为锐角三角形，且a＝2，求△ABC的周长和面积的最大值及取值范围 五、角非对边型周长与面积最值问题 例2：锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A＝. 1. 若c＝1，求△ABC面积的取值范围 1. 若c＝1，求△ABC周长的取值范围 六、最值范围问题常见处理方法 1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本 不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。 2、转为三角函数求最值：化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边 二、边化角与角化边的变换原则 在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： (1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置； (5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； (6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理． 题型一 角平分线相关计算求值 【例题讲解】 2023·厦门第四次质检 1． 记的内角的对边分别为，已知，若，，是上一点，为角的平分线，求. 2023·广东省六校高三第四次联考 2． 已知的角，，的对边分别为，，，且，若平分交线段于点，且，，求的周长. 【巩固练习】 2023年高考全国甲卷数学(理)真题·T16 3． 在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 4． 在△ABC中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角； (2)若，为边上一点，为角的平分线，且，求的面积. 5． （2022·浙江·高一校联考期中）在△中，内角对应的边分别为，请在①；②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题： (1)求角的大小； (2)已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求△的面积. 6． （2023下·河北石家庄·高一校考期中）已知在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c