指对幂比较大小问题专练-2024届高三数学一轮复习

指对幂比较大小问题 考点一：中间变量法 指、对、幂的底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． 【典例2-1】设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】已知，则 A． B． C． D． 【变式1】已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点二：构造函数法 类型一：同形构造 根据结构构造统一函数，通过导数判断单调性，再根据单调性来比较数的大小。 【典例3-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知，则（    ） A． B． C． D． 类型二：不同形构造 两两做差构造新函数，通过导数判断单调性，再根据单调性来比较数的大小。 【典例3-2】设，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】指对数切线不等式： 不等式 取值范围 证明 图示 设，则，当时，，当时，，∴，即，当且仅当时取等号，得证． 如图，在处的切线方程为． 设，则，当时，，当时，，∴，即，当且仅当时取等号，得证. 如图，在处的切线方程为. 考点三：作差作商比较法 【典例4-1】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【变式1】已知，则x､y､z的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】设x、y、z为正数，且，则 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 考点四：放缩法 放缩法的思想实质是不等式的传递性，即若则.指对型数值的比较，可以借助于切线不等式及及其变形进行放缩，然后对自变量取值代入，可实现比较大小的目的. 【典例5-1】已知，，，则，，的大小为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2022·新高考Ⅰ卷T7）设，则（C） A． B． C． D． 考点五：泰勒公式 1.泰勒展开式： 若任意一个函数在的邻区内存在阶导函数，那么函数总可以写成一个次多项式的函数形式： ，称为函数在邻区内的次泰勒展开式.特别地，当时，. 2.常见基本初等函数在的邻区内次泰勒展开式： ①；②；③； ④；⑤；⑥. 【典例5】（2022·新高考Ⅰ卷T7）设，则（C） A． B． C． D． 【分析】观察实数类似于指数函数在处的函数值的0.1倍，实数通过变形后，可以转化成，即可以看成函数在处的函数值。 【详解】方法四：泰勒公式 根据泰勒公式： 当时，计算处其前三项函数值，，近似逼近实数的大小为 当时，计算其前三项函数值，，进而近似逼近实数的大小为 ，，，从而可以较精确的比较出这三个数的大小： 【课后练习】 1．已知，则这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．设，，．则（    ） A． B． C． D． 3．设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．设，则（    ） A． B． C． D． 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $$指对幂比较大小问题 考点一：中间变量法 指、对、幂的底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定． 【典例2-1】设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解. 【详解】，， ，， ，，. 故选：D. 【典例2-2】已知，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】则．故选B． 【变式1】已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论. 【详解】，即. 故选：C. 【变式2】已知，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性判断出，，，即可得到正确答案. 【详解】