1.2.2 等差数列前n项和(第2课时)（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

1.2.2 等差数列前n项和(第二课时) （公式一） （公式二） （二次型） Sn=an2+bn(a,b为实数，常数项为0) 特别的：对数列{n}： 等差数列前n项和公式的基本形式： 温故知新 等差数列前n项和公式的函数特征 特征： 思考： 结论： 观察上面的式子,我们可以看出它是 关于n 的二次函数,从而等差数列的前n 项和可以写成形如: 将等差数列的前n项和公式写成上 述形式,有利于求其前n项和的极值: a1<0,d>0 a1>0, d<0 极大值 无 有 极小值 有 无 n sn n sn a1<0, d>0,极小值 a1>0,d<0,极大值 等差数列前n项和再认识: 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=－2<0 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为 7 n 11 3 Sn 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. ∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15 由 得 ∴a7+a8=0 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得 ∴当n=7时,Sn取最大值49. a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8 又d=－2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0 例2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.     例2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 变式　在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为________． 7   公式1 推广： 等差数列前n项和公式的推广 (1)若 a2+ a5+ a12+ a15=36, 则S16= 。 例3 等差数列{an}中, (2)若 a1+ a2+ a3=12, a8+ a9+ a10=75, 则S10= 。 (3)若 a6=20, 则S11= 。 ②应用求和公式时一定弄清项数n. ③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用等和性求a1+an的值. 应用公式求和.“知三求二”，方程的思想. ①已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ. 探究：若Sn＝n2＋2n＋1，试求an. Sn与an之间的关系问题方法步骤：(1)由Sn构造Sn－1 → (2)利用an＝Sn－Sn－1 → (3)验证n＝1 → (4)写通项公式an. 解：当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2－n2＝2n＋1. 当n＝1时，a1＝1＋2＋1＝4，不适合an＝2n＋1， 设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足sn=n2+2n-1, 求﹛an﹜的通项公式. 变式： 等差数列连续等长片段和仍成等差数列 Sk, S2k-Sk , S3k-S2k ， … 等差数列前n项和性质 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例4： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例5： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 解法三： 设a1+a2+……+a10=A， a11+a12+……+a20=B， a21+a22+……+a30=C， 则A，B，C成等差数列，且A=10，A+B=30, 解得B=20， 所以C=30， S30=A+B+C=60. 例4： 3. 等差数列奇，偶项和问题 4.已知两个等差数列{an},{bn}，它们的前n项和 分别是Sn,Tn，则 等差数列前n项和性质 解： 例5. 已知一个等差数列前12项的和是354，前12项 中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差．         方法总结：求等差数列前n项和的最值的方法： (1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.利用二次