第3章 空间向量及其应用 单元综合检测（难点）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

第3章 空间向量及其应用 单元综合检测（难点） 一、填空题 1．在棱长为3的正方体中，点E满足，点F在平面内，则|的最小值为 . 2．已知空间向量、、的模长分别为、、，且两两夹角均为，点为的重心，则 ． 3．如图，四面体的每条棱长都等于，分别是上的动点，则的最小值是 ，此时 ． 4．若正三棱锥的底面边长为6，高为，动点P满足，则的最小值为 ． 5．如图，两个正方形，的边长都是8，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的四等分点，N为对角线DF的中点，则线段 ． 6．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则点A到直线的距离为 . 7．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知球O是棱长为2的正八面体的内切球，为球O的一条直径，则的取值范围是 . 8．已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是 ． 9．如图，棱长为1的正方体的八个顶点分别为，记正方体12条棱的中点分别为，6个面的中心为，正方体的中心为.记，，其中是正方体的体对角线.则 .    10．如图，点在长方体内部运动，点在棱上，且，动点满足为棱的中点，为线段的中点，若，则动点到平面距离的最小值为 .    11．已知单位向量两两的夹角均为（，且），若空间向量满足，，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，有下列命题： ①已知，，则； ②已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值； ③已知，，则； ④已知，，，则三棱锥的表面积. 其中真命题为 （写出所有真命题的序号）． 12．如图，在棱长为8的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列三个结论：①若为上的动点，则的最小值为；②到平面的距离的最大值为；③为的中点，为空间中一点，且与平面所成的角为，与平面所成的角为，则在平面上射影的轨迹长度为，其中所有正确结论的序号是 ． 二、单选题 13．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．已知，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在的直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论： （1）直线与所成的角不可能为； （2）直线与所成角的最大值为； （3）直线与所成的角为时，与所成的角为. 其中正确的是（    ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 15．在正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）中，点在棱上，满足，点为线段上的动点.设直线与平面所成的角为，则（    ） A．存在某个位置，使得 B．存在某个位置，使得 C．存在某个位置，使得平面平面 D．存在某个位置，使得 16．如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（    ） A．平面平面 B．线段的最小值为 C．当，时，点D到直线的距离为 D．当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为 三、解答题 17．如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的大小； （3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长. 18．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.    (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 19．如图，已知长方体，，，直线BD与平面所成角为30°，AE垂直BD于E． (1)若F为棱的动点，试确定F的位置，使得平面，并说明理由； (2)若F为棱的中点，求点A到平面的距离； (3)若F为棱上的动点（除端点､外），求二面角的平面角的范围． 20．如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)求四棱锥的体积的最大值； (2)若棱的中点为，求的长； (3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 21．我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形中，，将沿翻折，使点A到点P处.E，F，G分别为，，的中点，且是与的公垂线.      (1)证明：三棱锥为正四面体； (2)若点M，N分别在，上，且为与的公垂线. ①求的值； ②记四面体的内切球半径为r，证明：. 原创精