第13讲 线性回归分析（九大题型）-2024年高二数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第13讲 线性回归分析 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 1、相关关系 两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 2、正相关、负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关． 3、线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近，我们就称这两个变量线性相关． 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 4、相关系数的计算 注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量 假设两个随机变量的数据分别为，对数据作进一步的“标准化处理”处理，，分别除和（和分别为，和的均值），得，为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为，则变量和变量的样本相关系数的计算公式如下：． 5、一元线性回归模型 我们称为关于的一元线性回归模型，其中称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的末知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差． 6、线性回归方程与最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征 我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计（leastsquaresestimate）， 其中 7、残差的概念 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 8、刻画回归效果的方式 （1）残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好． （2）残差平方和法 残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差． 【典型例题】 题型一：相关关系的理解 【例1】（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）下列两个量之间的关系是相关关系的是（    ） A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高 C．儿童的年龄与体重 D．物体的体积和质量 【变式1-1】（2024·高二课时练习）下列两个变量间的关系不是函数关系的是（    ） A．正方体的棱长与体积 B．角的度数与它的正切值 C．单产为常数时，土地面积与粮食总产量 D．日照时间与水稻的单位产量 【变式1-2】（2024·江苏盐城·高二校考阶段练习）下列关于回归分析与独立性检验的说法：①回归分析和独立性检验没有什么区别；②回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系；③回归分析是研究两个变量之间的相关关系，而独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验；④独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系．其中正确的是（    ） A．①② B．③ C．③④ D．①②③④ 题型二：散点图与相关性 【例2】（2024·高二课时练习）在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式2-1】（2024·全国·高二随堂练习）对四组数据进行统计，获得以下散点图（如图），将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的有（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高二课时练习）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型三：散点图及其应用 【例3】（2024·上海·高二专题练习）如图给出了某种豆类生长枝数y（枝）与时间t（月）的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是（　　）    A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·全国·高二专题练习）相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下的数据得到回归直线方程，相关系数为．则（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·河南南阳·高二唐河县第一高级中学校考阶段练习）2003年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制，下表是某同学记载