第12讲 正态分布（四大题型）-2024年高二数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第12讲 正态分布 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 1、正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线显然对于任意，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为，特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布． 2、由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 （1）曲线是单峰的，它关于直线对称； （2）曲线在处达到峰值； （3）当|x|无限增大时，曲线无限接近轴． 3、正态分布的期望与方差 若，则，． 4、正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 5、当或时，服从标准正态分布，即． 【典型例题】 题型一：正态曲线的图象的应用 【例1】（2024·高二课时练习）函数(其中)的图象可能为（   ） A．  B．  C．    D．   【变式1-1】（2024·陕西宝鸡·高二统考期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】（2024·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高二课时练习）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 题型二：利用正态分布的对称性求概率 【例2】（2024·上海·高二校考期末）若随机变量，，则 . 【变式2-1】（2024·全国·高二随堂练习）已知随机变量，且，则的展开式中常数项为 . 【变式2-2】（2024·浙江嘉兴·高二校联考期末）设随机变量，且，则实数的值为 . 【变式2-3】（2024·江西吉安·高二统考期末）若，且，则 . 题型三：正态分布的实际应用 【例3】（2024·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表： 旅游消费支出 频数 12 388 452 138 10 (1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上； (2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率. （参考数据：） 【变式3-1】（2024·江西上饶·高二校考阶段练习）某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250名顾客，采取100分制对产品功能满意程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分服从正态分布，对产品外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分90分以上（不含90分）视为非常满意. (1)本次调查对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？（结果四舍五入取整数） (2)若这250人中对两项都非常满意的有2人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的人中随机抽取3人，设3人中两项都非常满意的有X人，求X的分布列和数学期望. （附：若，则，） 【变式3-2】（2024·全国·高二随堂练习）2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段记作区间，记作，记作，记作，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知，时间段内的车辆数的频数如下表： 时间段 频数 100 300 m n (1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为，求的分布列与期望； (2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，其中可用（1）中这1000辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已