第07讲 两个基本计数原理（七大题型）-2024年高二数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第07讲 两个基本计数原理 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 知识点一：分类加法计数原理（也称加法原理） 1、分类加法计数原理： 完成一件事，有类办法．在第1类办法中有种不同方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 2、加法原理的特点是： ① 完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类； ② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； ③ 把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步是确定各类的方法数，第三步是取和． 知识点二、分步乘法计数原理 1、分步乘法计数原理 “做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成． 2、乘法原理的特点： ① 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； ② 完成每一步有若干种方法； ③ 把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点诠释： 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． 知识点三、分类计数原理和分步计数原理的区别： 1、分类计数原理和分步计数原理的区别： 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关． 完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，则用加法原理； 若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算． 知识点四、分类计数原理和分步计数原理的应用 1、利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序： （1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？ （2）然后考虑如何完成？主要有三种类型 ①分类或分步． ②先分类，再在每一类里再分步． ③先分步，再在每一步里再分类，等等． （3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？ 【典型例题】 题型一：分类加法计数原理 【例1】（2024·安徽·铜陵市实验高级中学高二阶段练习）从名女同学和名男同学中，选出人主持某次主题班会，不同的选法种数为______． 【变式1-1】（2024·广东梅州·高二校考阶段练习）从名女同学和名男同学中任选人主持本班的某次专题班会，则不同的选法种数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·山东临沂·高二校考阶段练习）集合，，，，5，6，，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】（2024·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）踢球时甲､乙､丙三人互相传递，由甲开始传球，经过3次传递后，球又被传回到甲，则不同的传递方式共有（   ） A．6种 B．8种 C．2种 D．4种 题型二：分步乘法计数原理 【例2】（2024·山东德州·高二校考阶段练习）为提高学生的身体素质，某校开设了游泳、武术和篮球课程，甲、乙、丙、丁4位同学每人从中任选门课程参加，则不同的选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式2-1】（2024·河南周口·高二校联考期中）360的不同正因数的个数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．42 【变式2-2】（2024·新疆伊犁·高二统考期中）若3名学生报名参加天文､计算机､文学､美术这4个兴趣小组，每人选1组，则不同的报名方式有（    ） A．12种 B．24种 C．64种 D．81种 题型三：两个原理的对比应用 【例3】（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（    ） A．32种 B．128种 C．64种 D．256种 【变式3-1】（2024·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线上有三个不同的点，且，直线上有五个不同的点，且，，且，间的距离为1，则由这些点构成的面积为1的三角形的个数为（    ） A．6 B．14 C．17 D．25 【变式3-2】（2024·高二单元测试）一杂技团有8名会表演魔术或口技的演员，其中有6人会表演口技，有5人会表演魔术，现从这8人中选出2人上台表演，1人表演口技，1人表演魔术，则不同的安排方法有 种． 【变式3-3】（2024·高二课时练习）直线l的方程为 ，若从0，1，3，5，7，8这6个数字中每次取两个不