第14讲 独立性检验（五大题型）-2024年高二数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第14讲 独立性检验 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 1、分类变量 这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种 我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示． 2、2×2列联表 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2×2列联表，2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数． 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 合计 a b c d 合计 3、等高堆积条形图 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果． 4、临界值 统计量也可以用来作相关性的度量．越小说明变量之间越独立，越大说明变量之间越相关 ．忽略的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立．我们称为的临界值，这个临界值就可作为判断大小的标准． 5、独立性检验 基于小概率值的检验规则是： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立． 这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验（test of independence）． 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0．1 0．05 0．01 0．005 0．001 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828 6、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 （1）提出零假设：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值比较； （3）根据检验规则得出推断结论； （4）在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 【典型例题】 题型一：用2×2列联表分析两分类变量间的关系 【例1】某机构为研究中老年人坚持锻炼与息糖尿病、高血压、冠心病、关节炎四种慢性疾病之间的关系，随机调查部分中老年人，统计数据如下表1至表4，则这四种慢性疾病可以通过坚持锻炼来预防的可能性最大的是．（    ） 表1 患糖尿病 未患糖尿病 坚持锻炼 6 14 不坚持锻炼 7 25 表2 患高血压 未患高血压 坚持锻炼 2 18 不坚持锻炼 11 21 表3 患冠心病 未患冠心病 坚持锻炼 4 16 不坚持锻炼 9 23 表4 患关节炎 未患关节炎 坚持锻炼 7 13 不坚持锻炼 6 26 A．糖尿病 B．高血压 C．冠心病 D．关节炎 【变式1-1】假设有两个分类变量X和Y的列联表如下： 总计 a 10 c 30 总计 60 40 100 对于同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这四个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到如下4个列联表，则与性别有关联的可能性最大的变量是．（    ） A．成绩 性别 成绩 合计 及格 不及格 男 14 6 20 女 22 10 32 合计 36 16 52 B．视力 性别 视力 合计 好 差 男 4 16 20 女 12 20 32 合计 16 36 52 C．智商 性别 智商 合计 偏高 正常 男 8 12 20 女 8 24 32 合计 16 36 52 D．阅读量 性别 阅读量 合计 丰富 不丰富 男 14 6 20 女 2 30 32 合计 16 36 52 题型二：用等高堆积条形图分析两分类变量间的关系 【例2】观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图．根据图中岁以上含35岁的信息，关于该样本的结论不一定正确的是（    ） A．男性比女性更关注地铁建设 B．关注地铁建设的女性多数是35岁以上 C．35