7.6向量法求空间角（二）课件-2024届高三数学二轮复习

7.6 用向量法求空间角（二） 二轮专题复习-空间向量与立体几何 年级：高三 学科：高中数学 教材版本：人教A版（2019） 执教教师：董超凡 深圳市盐田高级中学 一、二面角的平面角定义： 如图1，在二面角 的棱 上任取一点 ，以 为垂足，在半平面 内分别 作与棱垂直的射线 ，则射线 构成的 叫做二面角的平面角（如图1），范围为 ，特别地， 相交形成四个二面角中，不大于 的二面角称为两平面的夹角. 图1 在 中作 ，易知，二面角的平面角 二、用向量法求平面与平面的夹角的原理： 因两相交平面夹角与二面角大小相等或者互补，且范围为 ，只需研究二面角的平面角.如图2,3所示，设 为二面角的平面角. 图2 图3 设 为二面角的平面角,当法向量取为如图4,5所示,就有： 图4 图5 4 用向量法求平面与平面的夹角的原理：设 分别为平面 的法向量， 二面角 的平面角大小为 ，向量 的夹角为 ，则 （图6）或 （图7），则两平面夹角 满足： 图6 图7 三、试一试 图8 (2023深圳一模)如图8，在四棱锥 中， ，且 ，底面 是边长为 2 的菱形， ， ，求平面 与平 面 的夹角余弦值. 图9 解法1：设 交于 ， 以 为原点， 为 轴，过 作与底面垂直的射线（如图所示）为 轴建立空间直角坐标系； 设 ，根据已知条件，易得 ，以上三式容易算出 7 图9 设平面 的法向量为 ，则 令 得 为平面 的一个法向量. 同理可算得 为平面 的一个法向量.设平面 与平面 的夹角为 ，则 所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 . 通过以上步骤，可以观察到利用法向量求平面与平面的夹角思路比较清晰，但是运算量偏大，本题是否还有更为简洁的方法？通过计算可看的到只需研究平面 与平面 ,前者是边长为2的正三角形，后者为以 为直角的直角三角形，如图11，取 中点 ，两平面夹角 满足 图10 图11 通过以上步骤，可以观察到利用法向量求平面与平面的夹角思路比较清晰，但是运算量偏大，本题是否还有更为简洁的方法？通过计算可看的到只需研究平面 与平面 ,前者是边长为2的正三角形，后者为以 为直角的直角三角形，如图11，取 中点 ，两平面夹角 满足 图10 图11 图12 思考：如果 不是特殊三角形，如何求与 垂直的向量？ 方法2解：建系方式与方法1一样，只需求以下点坐标 则 设平面 与平面 的夹角为 ，则 所以平面 与平面 的夹角余弦值为 . 四、向量法求平面与平面夹角方法小结 两种方法 向量运算求两个平面的法向量的夹角 求半平面内分别与棱垂直的向量的夹角 三个步骤 建立空间直角坐标系 求点坐标 求出法向量或与棱垂直向量代入公式 四种思想 数形结合 化归 分类讨论 类比 一个注意 平面与平面夹角、二面角，向量的夹角的定义与范围 五、课后体验 （2022新高考卷）如图13，直三棱柱 的体积为 ， 的面积为 ，设 为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值. 图13 参考答案附后 $$