重难点专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

重难点专题03 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题 【题型归纳目录】 题型一：定值问题 题型二：范围与最值问题 题型三：求参问题以及其它问题 【知识点梳理】 （1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明：不妨设 ，则， ① ② ①②两式相加得： （2）极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 ①平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. ②三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 【典型例题】 题型一：定值问题 【例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，，，则的值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，D是边的中点，E，F是线段的两个三等分点，若，，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型二：范围与最值问题 【例2】（2022·山东师范大学附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________. 【变式2-1】四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________. 【变式2-2】（2022·重庆八中模拟预测）中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 题型三：求参问题以及其它问题 【例3】（2023春·江苏扬州·高一期末）在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 【变式3-1】（2022·全国·高一）设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________. 【过关测试】 1．（2024·全国·高一随堂练习）如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高一假期作业）如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　  ） A． B． C． D． 3．（2024·河南驻马店·高一校联考期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径∥，点在正六边形的边上运动，则的最大值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高二统考期末）线段是圆的一条直径，且是圆上的任意两点，，动点在线段上，则的取值范围 ． 5．（2024·福建漳州·高一校联考期中）已知点M是矩形内（包括边界）的一个动点，若，，则的最大值为 . 6．（2024·广东深圳·高一校考期中）青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是 ．    7．（2024·河北保定·高一校联考期中）已知点在棱长为1的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为 ． 8．（2024·四川成都·高一统考期末）已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为 ． 9．（2024·云南昆明·高一统考期末）在梯形中，，，，为线段上的动点，则的最小值为 . 10．（2024·河北石家庄·高一统考期末）已知中，，，点P是外接圆圆周上的一个动点，则取值范围是 ． 11．（2024·江苏苏州·高一统考期中）如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则的最大值为 ，若、分别是边、的中点，则的取值范围是 ．    12．（2024·全国·高三专题练习）如图直角梯形中，是边上长为的可移动的线段，，， ，则的最小值为 ， 最大值为 .    13．（2024·山东日照·高二统考开学考试）四边形中，点，分别是，的中点，，