重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商问题-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商问题 【题型归纳目录】 题型一：问题（系数为1） 题型二：问题（系数不为1） 题型三：问题 题型四：问题 题型五：问题 题型六：问题 【知识点梳理】 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然。 （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 【典型例题】 题型一：问题（系数为1） 【例1】在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为　　 A． B． C．1 D．4 【变式1-2】（2024·重庆铜梁·高一统考期末）在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（    ） A． B． C． D． 题型二：问题（系数不为1） 【例2】（2024·山东潍坊·高一统考期中）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是 A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·山东烟台·统考三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式2-2】（2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：问题 【例3】（2024·上海嘉定·高二校考期末）如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是 ．（填写所有正确说法的序号） ①存在点P，使得； ②存在点P，使得； ③存在点P，使得； ④存在点P，使得． 【变式3-2】（2024·高一课时练习）已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 . 题型四：问题 【例4】（2024·江苏·高三专题练习）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，，若的最小值为，则正数的值为 【变式4-1】（2024·山东菏泽·高一统考期末）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为 . 【变式4-2】（2024·广东惠州·高一校联考阶段练习）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为(    ) A．2 B．3 C． D． 题型五：问题 【例5】（2024·山西·高一统考期末）已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，若，则 . 【变式5-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·天津·高三校联考阶段练习）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则 ，的最小值为 . 题型六：问题 【例6】（2024·江苏泰州·高一泰州中学阶段练习）在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则 的 取值范围为 ． 【变式6-1】（2024·福建福州·高三校考期末）在△ABC中，点D满足BD＝BC，当E点在线段AD上移动时，若，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高三课时练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（2024·四川成都·高三阶段练习）在中，为边上任意一点，为的中点，，则的值为 A． B． C． D． 3．（2024·河南南阳·高三统考期末）如图，在中，为线段上异于，的任意一点，为的中点，若，则(    ) A． B． C． D． 4．（2024·山东日照·高三山东省日照实验