2024年中考数学高频考点突破：二次函数压轴题（特殊三角形问题）

2024年中考数学高频考点突破 二次函数压轴题（特殊三角形问题） 1．如图1，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点． 　　　 （1）求，的值； （2）点是第一象限抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交于点．当△为等腰三角形时，求点的坐标； （3）如图2，抛物线顶点为，已知直线与二次函数图象相交于，两点．求证：无论为何值，△恒为直角三角形． 2．如图， 抛物线与x轴交于点和．    (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交x轴于点E， 点F是位于x轴上方的抛物线对称轴上一点， C是第一象限抛物线上一点， 若， 点C的横坐标是5，求证： 四边形 是平行四边形； (3)在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，当是等腰三角形时，求点 P的坐标． 3．已知二次函数（是常数）． （1）求证：不论为何值，该二次函数图像与轴总有两个公共点； （2）二次函数的图像与轴交于点，顶点为，将二次函数的图像沿轴翻折，所得图像的顶点为，若是等边三角形，求的值． 4． 如图，抛物线y = —2x 2 +x+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交过点B垂直于x轴的直线于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交过点B垂直于x轴的直线于点N． （1）求线段AB长； （2）证明：OP=PC； （3）当点P在第一象限时，设AP长为m，⊿OBC的面积为S，请求出S与m间的函 数关系式，并写出自变量m的取值范围； （4）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，⊿PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，直接写出所有能使⊿PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由． 5．已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F (1)求抛物线的表达式； (2)求证：∠BOF＝∠BDF ： (3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长 6．如图所示，已知直线L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M． （1）直接写出直线L的解析式； （2）设OP＝t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0＜t＜2时，S的最大值； （3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由． 7．如图，二次函数图象的顶点坐标为，且在轴上截得的线段的长为2．    (1)求证：是等腰直角三角形； (2)求二次函数的解析式； (3)在的抛物线上是否存在点，使是等腰三角形；若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，在直角坐标系中，已知抛物线（其中，为常数，且）与轴的一个交点为，与轴交于点，此抛物线顶点到轴的距离为4 （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，，判断与之间的数量关系，并加以证明； （3）如果点是抛物线上的一点，且，试求点的坐标． 9．已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）经过A（m，n）、B（2-m，n）两点． (1)求a、b满足的关系式； (2)如果抛物线的顶点P在x轴上，△PAB是面积为1的直角三角形，点C是抛物线上动点（不与A、B重合），直线AC、BC分别与抛物线的对称轴交于点M、N． ①求抛物线的解析式； ②求证：PM=PN． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点． (1)求证：； (2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． ①求的最大值； ②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 11．在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点A，B（点B在点A的右侧）．抛物线顶点为C点，△ABC为等腰直角三角形． (1)求此抛物线解析式． (2)若直线与抛物线有两个交点，且这两个交点与抛物线的顶点所围成的三角形面积等于，求k的值． (3)若点，且点E，D关于点C对称，过点D作直线交抛物线于点M，N，过点E作直线轴，过点N作于点F，求证：点M，C，F三点共线． 12．已知抛物线y＝－x2＋2mx－m2＋的顶点为P． （1）求证：不论m取何值，点P始终在同一个反比例函数图象上？ （2）若抛物线与x轴交于A、B两点，当m为何值时，线段AB长等于8？ （3）该抛物线上是否存在一点Q，使得△OPQ是以点P为顶点的等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值． 13．如图，已知抛物线与轴交于，两点，其顶点为． (1)对于任意实数，点是否在该抛物线上？请说明理由； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)若