2024年中考数学高频考点突破：二次函数与面积问题

2024年中考数学高频考点突破 二次函数与面积问题 1．抛物线． (1)求证：无论m为何值，这条抛物线都与x轴至少有一个交点； (2)求它与x轴交点坐标A，B和与y轴的交点C的坐标；（用含m的代数式表示点坐标） (3)当，求抛物线的解析式． 2．如图，抛物线与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是的中点，平行四边形的顶点D，E均在抛物线上． (1)直接写出点C的坐标； (2)如图（1），若点D的横坐标是，点E在第三象限，平行四边形的面积是13，求点F的坐标； (3)如图（2），若点F在抛物线上，连接，求证：直线过一定点． 3．已知抛物线y＝x2－2mx＋4m－8的顶点为A (1) 求证：该抛物线与x轴总有两个交点 (2) 当m＝1时，直线BC：y＝kx－2与该抛物线交于B、C两点，若线段BC被x轴平分，求k的值 (3) 以A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M、N两点在抛物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由 4．抛物线交x轴于A，B两点（点A在点 B 的左边），交y轴于点C．    (1)直接写出点A，B的坐标； (2)如图1，直线经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足的面积与的面积相等，求点D的横坐标； (3)如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线，，是抛物线上两点（P点在点左侧），直线交抛物线C对称轴于点E，过点作y轴的平行线分别交x轴，直线于F，H两点，交x轴于点G，求证：． 5．如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-4，0），B（1，0），C（-2，6）. （1）求经过点A，B，C三点的抛物线解析式． （2）设直线BC交y轴于点E，连结AE，求证：AE=CE； （3）设抛物线与y轴交于点D，连结AD交BC于点F，求证：以A，B，F为顶点的三角形与△ABC相似，并求：． 6．已知抛物线经过不重合的两点． (1)若点在该抛物线上，求的最小值； (2)已知三点中有且仅有一点在该抛物线上，若该抛物线与x轴只有一个交点，求该抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，直线l：与y轴交于点，与该抛物线交于A，B两点，点C的坐标是，连接分别交x轴于D，E两点，连接，记的面积分别为，，求证：． 7．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，2），B（2，﹣2）两点． ⑴用含a的式子表示b． ⑵当a=﹣时，y=ax2+bx+c的函数值为正整数，求满足条件的x值． ⑶若a＞0，线段AB下方的抛物线上有一点E，求证：不管a取何值，当△EAB的面积最大时，E点的横坐标为定值． 8．如图1，抛物线与轴交于A，两点（点A在点左边），与轴交于点，点在抛物线上，且的面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)点在第三象限内的抛物线上，当的面积为21时，求点的坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点，直线，分别与轴的正、负半轴交于，两点，且．求证：直线必过定点，并求出这个定点的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y=（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E． (1)填空：OA=　　　，k=　　　，点E的坐标为　　　； (2)当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣t2+5t﹣）与点N（﹣t﹣3，﹣t2+3t﹣）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点． ①当点P在双曲线y=上时，求证：直线MN与双曲线y=没有公共点； ②当抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值； ③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积． 10．如图，抛物线经过点，且与直线交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的面积； (3)已知垂直轴于点，垂直轴于点，求证：． 11．将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，经过定点的直线交抛物线于，两点（点在点的左侧），点为坐标原点． （1）直接写出抛物线的解析式和定点的坐标； （2）用字母S表示三角形的面积，若．请补充图1，求的值； （3）若点在直线上运动，且满足直线与直线分别与轴交于、两点，请补充图2，求证：与的积是定值． 12．我们不妨约定在二次函数中，若，则把该函数称之为“明麓函数”，根据该约定，完成下列各题． (1)在下列关于的函数中，若是“明麓函数”的，请在相应题目后的括号中打“√”，若不是“明麓函数”的，请在相应的题目后打“×”． ①（　　）②（　　）③（　　） (2)求证：“明麓函数”与直线总有两个不同的交点． (3)已知“明麓函数”与直线相交于A、B两点，P是“明麓函