2023- 2024学年人教版九年级上册数学期末专题练习：二次函数中的特殊三角形问题

2023- 2024学年人教版九年级上册数学期末专题练习： 二次函数中的特殊三角形问题 1．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点、，交y轴于点，在y轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且，． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P是抛物线位于第二象限上的点，过点P作轴，交直线AB于点Q，交x轴于点H，过点P作PD⊥AB于点D． ①求线段PD的最大值； ②若时，请求出此时点P的坐标． 4．如图，抛物线与直线交于点A（，0）、C（2，），与x轴另一交点为B． (1)求抛物线的解析式并写出它的顶点坐标． (2)在抛物线上找出一点P，使△ACP的内心（三角形三条角平分线的交点）在x轴上，求点P的坐标． (3)M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM，在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN=∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线y＝ax2﹣6ax+3交y轴于点A，AB∥x轴交抛物线于另一点B，抛物线的顶点为C，AC＝AB． (1)求抛物线的函数表达式． (2)P(0，b)是y轴上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线的对称轴于点D，取PD的中点M，若点M恰好落在抛物线上，求b的值． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A的坐标； (2)如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为，△AEO的面积为，求的最大值及此时点D的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线的顶点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标． 7．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标； (2)是否存在使BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 8．如图，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（2，0），（0，3），抛物线经过B，C两点．抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式和点D的坐标； (2)点P是抛物线对称轴上一动点，当△CPA为等腰三角形时，求所有符合条件的点P的坐标． 9．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围； (3)探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线y＝经过点A（3，0），B（0，2），连接AB，点P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P作x轴的垂线，交AB于点Q，判断是否存在点P，使得以P、Q、B为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点C与点B关于x轴对称，连接AC，AP，PC，当点P运动到什么位置时，△ACP的面积最大？求△ACP面积的最大值及此时点P的坐标． 11．如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式． (2)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． (3)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 12．综合与实践：如图，抛物线y与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向