1.2直角三角形 自主学习解答题专题提升训练题 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

2023-2024学年北师大版八年级数学下册《1.2直角三角形》 自主学习解答题专题提升训练题（附答案） 1．如图是单位长度为1的正方形网格．    (1)在图1中画出一条长度为的线段； (2)在图2中画出一个以格点为顶点，三边长都是无理数的直角三角形． 2．（1）在中，，，，求的长． （2）在中，，，，判断是否是直角三角形． 3．如图，在中，，求边上的高．    4．如图，D为边上的一点，，，，，求的长． 5．如图，，，E是上的一点，且，．求证：．      6．如图，现有一块花坛，将其内部设置成观赏区，其他区域种植花卉，已知，每平方米的种植成本为20元，求种植花卉所需的费用． 7．如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．    (1)求证：； (2)判断和的位置关系并证明． 8．如图，中，、分别是上的高，与交于点O，．    (1)求证：为等腰三角形． (2)问点O在的平分线上吗？为什么？ 9．如图，，，的延长线交于点F．    (1)求证：； (2)求证：． 10．如图，在中，，，边上的中线，延长到点，使，连接． (1)求证：； (2)求的长． 11．如图，，交于点，，． (1)求证：； (2)若，则的度数为 °． 12．兰州的东湖广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作： ①测得的长为15米（注：）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． 求风筝的高度． 13．如图，在中，，于D． (1)求证：； (2)若平分分别交、于E、F，求证：． 14．在中，，D为内一点．连接，，延长到点E，使得． (1)如图1，延长到点F．使得．连接，．求证：； (2)连接，交的延长线于点H．依题意补全图2．若．判断与位置关系．并证明． 15．如图，在四边形中，，，，是上一点，且，过点作，垂足为． (1)证明：． (2)猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 16．在中，，，过点作直线，于点，于点．    (1)若在外（如图1），求证：； (2)若与线段相交（如图2），且，，则　　． 17．如图，在中，，点是上一动点，连接，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角，交于点． (1)如图1，若，当为等腰三角形时，请直接写出此时的度数； (2)如图2，若，点为上一点，． ①求证：； ②求证：． 18．（1）阅读理解：如图①，在中，，，，垂足分别为，，且，与交于点．图中与全等的三角形是 ，与全等的三角形是 ； （2）问题探究：如图②，在中，，，平分，，垂足为．探究线段，，之间的关系，并证明； （3）问题解决：如图③，在中，，，平分，交的延长线于点．求证：．    19．我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)[概念理解] 如图1，四边形的对角线与相交于点O，若，试证明四边形为垂美四边形，并求的长度； (2)[性质探索] 如图2，垂美四边形的对角线与相交于点O，猜想与有何关系?并证明你的猜想． (3)[解决问题] 如图3，是长方形的一条对角线，过点A作于E，延长交于点F，，若，求的长度． 20．【问题情景】某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．    （1）如图（a）所示，已知：在中，，直线经过点，，垂足分别为．则请证明． （2）这时组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图（b）所示，现将（1）的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．则请证明． 【类比探究】数学老师赞扬了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： （3）如图（c）所示，以的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 参考答案 1．解：（1）如图：根据勾股定理．    故即为所求； （2）如图：根据勾股定理得：，，    ， 故直角三角形即为所求． 2．解：（1）在中，，，， 由勾股定理得：， ∴的长为． （2）在中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 3．解：， ， 是直角三角形， ， 即， ． 4．解：∵，，，且， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵，， ∴ 16． 5．解：， ， 和都是直角三角形， ， ， 在和中，， ． ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 6．解： ， ， ， 是直角三角形，， 种植花卉区域的面积为， 种植花卉所需的费用为（元． 7．（1）解：在，中， ∵ ∴ （2）解：根据题意，画图如下，    延长交于点，由（1）可知，，， ∴在中，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴是直角三角形，即， ∵点、、在同一条线段上， ∴， 故和的位置关系是垂直． 8．（1）证明：∵、为的高， ∴，