1.1第一课时 一次函数的图像与直线方程、直线的倾斜角、斜率及其关系教学设计-2023-2024学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册

一次函数的图像于直线方程、直线的倾斜角、斜率及其关系 1、 教学目标 1、 理解一次函数的图像与直线的关系； 2、 理解直线倾斜角与斜率的概念； 3、 掌握斜率的计算公式及斜率与倾斜角的关系。 2、 教学重难点 重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握两点的直线的斜率计算公式 难点：理解直线与方程的关系及直线的方向向量与斜率的关系 3、 教学设计 1、 问题导入 （PPT展示课件问题）此处问题需要学生共同解决，集体回答 问题1：一次函数的图像是什么？ 答：一次函数的图像是一条直线，描点作图进行处理。 问题2：给定一个一次函数，点是否在该函数的图像上？是否是方程的解？ 答：点在函数图像上，是方程的解。 设计意图：初步理解直线与方程的关系，一次函数的图像是一条直线。 归纳总结1：一般地，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对的值为坐标的点构成的，同时函数解析式可以看作二元一次方程。 区别与联系： （1）一次函数的图象一定不与坐标轴垂直。但直线可以与坐标轴垂直。 （2） 一次函数的图象一定是直线，但直线不一定是一次函数的图象，比如垂直于坐标轴的直线。 2、 新知概念 2、1直线的倾斜角与斜率 问题3：假如知道直线上的一个点，过这个点可以画多少条直线？如果要确定一条唯一的直线，有多少种画法？ 答：无数条直线。两个点，一个点加一个方向。列举东偏北等方位角问题处理。 学生进行讨论，教师进行引导两点确定一条直线，以及方位角的问题，给出多种解决 设计意图：利用平面向量的知识找到确定一条直线的方法，引出直线的倾斜角。 2、1、1直线的倾斜角 （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角称为直线的倾斜角。通常倾斜角用表示。当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为，因此，直线的倾斜角的取值范围是。对于平面内的任一条直线，都有唯一确定的倾斜角与之对应。如下图所示： 说明 ：在平面直角坐标系中，每一条直线都有唯一确定的倾斜角与之对应，直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度，方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等，方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等。倾斜角越接近，倾斜程度越大。 设计意图：让学生体会倾斜角不同的直线，使学生更好的掌握倾斜角的概念和变化趋势及取值范围。 问题4：除了使用倾斜角刻画直线的倾斜程度之外，还有没有其他的方式刻画直线的倾斜程度？ 设计意图：引导学生思考斜率的相关概念，并在接下来从生活中的坡度来了解直线的斜率。 （2）道路的倾斜程度 从上坡的难易程度来引导学生思考坡度与斜率以及中间的比值关系。同时也可以延出两点确定一条直线，也可以确定直线。（引导学生思考是否有其他的刻画倾斜程度的量） 坡度：用坡度来刻画道路的倾斜程度。坡度，即坡面的铅直高度和水平长度之比。这个比值反应的是物体在水平方向上的改变量和铅直方向改变量的联系，即平均变化率。例如，坡度为0.01，说明物体沿着该坡道运动，在水平方向上移动，在铅直方向上上升或下降（示意图如图所示）。显然坡度越大，坡的倾斜程度就越大。 （强调竖直高度差与水平距离差的比值） 设计意图：引导学生计算认识直线的斜率计算方式。 （3） 直线的斜率 如图，在直线上任取两个不同的点，，记，则在直线上点平移到点，相当于在横轴上改变了，即横坐标的改变量为，在纵轴上改变了，即纵坐标的改变量为，因此比值反映了直线的倾斜程度。由图可知，的大小与两点在直线上的位置无关。称(其中)为经过不同两点的直线的斜率。 注意： 1、斜率的大小与两点在直线上的位置无关 2、若直线垂直于轴，则它的斜率不存在； 3、若直线不与轴垂直，则它的斜率存在且唯一。因此，我们常用斜率来表示直线的倾斜程度。 4、斜率表示直线的倾斜程度。 设计意图：此处教师应该带领学生主动推导直线的斜率计算过程，并且在证明过程中需要重点强调分母的情况，即斜率不存在的情况。 对点练习 1、 求满足下列条件的直线的斜率 （1） 经过点的直线的斜率； （2） 经过点的直线的斜率； （3） 经过点的直线的斜率。 解：根据斜率的计算公式(其中)来进行计算 （1）；（2）；（3） 设计意图：让学生熟悉斜率的计算 问题5、对于倾斜角不为的两条直线，其倾斜角相等，斜率就相等吗？反之，斜率相等，倾斜角就相等吗？ 问题6、直线的方向向量与直线的斜率有怎样的关系？ 师生互动：教师引导学生理解直线的方向向量和直线上两点坐标的关系，从而方便后面坐标的推导。再此处教师可以进行简单的提问，让学生主动的去思考问题。 2、2、2直线的斜率与倾斜角、方向向量之间的关系 （1）直线的斜率与倾斜角的关系 由正切函数的概念可知，倾斜角不是的直线，它的斜率与 倾斜角满足。 师生互动：借助正切函数的特点总结倾斜角的