第五章　相交线与平行线－－平行线中常见作辅助线的两技巧九类型训练课件2023-2024学年人教版七年级数学下册

平行线中常见作辅助线的 两技巧九类型训练 人教版七年级下 第五章　相交线与平行线 　　在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两 条线之间的位置关系时，通常作辅助线来帮助解答，如何作 辅助线需根据已知条件确定.辅助线的添加既可以产生新的条 件，又能与题目中原有的条件联系在一起. 1.如图，∠E＝∠B＋∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关 系，并说明理由. 技巧1　加截线法 类型1　连接两点 【解】AB∥CD.理由如下：如图，连接BD. 在三角形BDE中，∠1＋∠2＋∠E＝180°. ∵∠E＝∠3＋∠4，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，即 ∠ABD＋∠CDB＝180°.∴AB∥CD. 【点拨】 本题可通过连接B，D两点构造截线BD，进而利用平行 线的判定说明AB∥CD. 点拨】 类型2　延长线段 2.[中考·东营]如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠BEF＝ 150°，则∠ABE＝(　D　) A.30° B.40° C.50° D.60° D 技巧2　过“拐点”作平行线法 类型3　“ ”形图 3.如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝ 28°，∠BPC＝58°.求∠1的度数. 【解】方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①所 示.∵PN∥AB，AB∥CD， ∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝28°. ∴∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°， ∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.∴∠1＝30°. 方法二：过点P作射线PM∥AB，如图②所示. ∵PM∥AB，AB∥CD，∴PM∥CD. ∴∠4＋∠2＝180°. ∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°. ∵∠4＋∠BPC＋∠3＝360°， ∴∠3＝360°－∠BPC－∠4＝360°－58°－152°＝150°. ∵AB∥PM，∴∠1＋∠3＝180°. ∴∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°. 类型4　“ ”形图 4. [新视觉 规律探索题]下列各图中的MA1与NAn平行. (1)图①中的∠A1＋∠A2＝ ⁠度； 图②中的∠A1＋∠A2＋∠A3＝ ⁠度； 图③中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝ ⁠度； 图④中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝ ⁠度； … 180　 360　 540　 720　 【点拨】 题图①中，因为MA1∥NA2， 所以∠A1＋∠A2＝180°. 题图②中，过点A2向左侧作MA1的平行线，易知∠A1＋ ∠A1A2A3＋∠A3＝180°＋180°＝360°. 同理可得，题图③中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝540°， 题图④中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝720°，… (2)第n个图中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＋1＝ ⁠. 180°n　 类型5　“ ”形图 5.如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何数量关系？为 什么？ 【解】∠BCD＝∠B－∠D.理由如下： 如图，过点C作CF∥AB， 则∠B＝∠BCF. ∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE. ∴∠DCF＝∠D.∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF. ∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF， ∴∠BCD＝∠B－∠D. 类型6　“ ”形图 6.如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样 的数量关系，试说明理由. 【解】∠B＋∠BEC－∠C＝180°. 理由如下：如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD， EF∥AB，∴EF∥CD. ∴∠FEC＝∠C. 又∵∠BEF＝∠BEC－∠FEC， ∴∠BEF＝∠BEC－∠C. ∵AB∥EF，∴∠B＋∠BEF＝180°. ∴∠B＋∠BEC－∠C＝180°. 【点方法】 解这种类型的题目时，通常是过“拐点”作平行线，把 一个大角分成两个小角，使分成的角与已知角建立联系，这 种 转化思想在解题时经常用到. 类型7　“ ”形图 7.直线AB∥CD，BEC是一条折线段，BP平分∠ABE. (1)如图①，若BP∥CE，求证：∠BEC＋∠DCE＝180°. (1)【证明】延长DC交BE于点K，交BP于点T，如图 ①.∵AB∥CD，∴∠ABT＝∠BTK. ∵BP平分∠ABE， ∴∠ABT＝∠TBK，∴∠BTK＝∠TBK. ∵BP∥CE，∴∠BTK＝∠KCE，∠TBK＝∠KEC， ∴∠KCE＝∠KEC. ∵∠KCE＋∠DCE＝180°， ∴∠KEC＋∠DCE＝180°， 即∠BEC＋∠DCE＝180°. (2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F. ①如图②，写出∠E和∠F的数量关系