二项式定理 讲义-2024届高三数学一轮复习

二项式定理 一、学习目标 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 二、知识梳理 1.二项式定理 （1）二项式定理: . （2）二项式系数：二项展开式中各项的系数 . （3）二项展开式的通项: ,它表示第 项. 提 醒：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指 , , , ,它只与各项的项数有关,而与 , 的值无关;项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且与 , 的值有关. 2.二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 . （2）增减性与最大值 当 是偶数时，中间一项 取得最大值； 当 是奇数时，中间的两项 与 相等，且同时取得最大值. （3）各二项式系数的和 的展开式的各二项式系数的和等于 . 知识拓展： 1.二项展开式形式上的特点 （1）项数为 . （2）各项的次数都等于二项式的幂指数 ,即 与 的指数的和为n. （3）字母 按降幂排列,从第一项开始,次数由 逐项减1直到零;字母 按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n. （4）二项式的系数从 , 一直到 , . 2.记牢两个常用公式 . . 三、典例探究 例1 的展开式中系数为无理数的项的个数为( ) A. B. C. D. 变式： 的展开式中常数项是 （用数字作答）. . 方法感悟：求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出 ，代回通项即可. 例2在 的展开式中，二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( ) A. B. C. D. 变式： 已知 ，则( ) A. B. C. D. 例3 在 的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( ) A. B. C. D. 变式： 已知 的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则 ;展开式中系数最大的项是 . 方法感悟：（1）在使用赋值法求展开式中各项系数的和时,令 , 等于多少,应视具体情况而定,一般取1,-1，0.如： ①形如 ， 的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令 即可； ②形如 的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令 即可. （2） 二项式系数最大的项在中间一项或中间两项取得，展开式中系数的最值需通过不等式（组）求得 的值. 四、 课堂练习 用1. 的展开式中， 的系数为( ) A. B. C. D. 2. 已知 ，则 的值为( ) A. B. C. D. 3. 已知 ，则“ ”是“ 展开式中所有项的二项式系数之和为1 024”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.在二项式 的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 1 学科网（北京）股份有限公司 $$