3.3.2抛物线的几何性质学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

抛物线的几何性质及应用 一、学习目标 1、理解抛物线的焦点弦与一般弦的区别 2、掌握焦点弦常用的性质 3、掌握弦长公式 4、会判断直线与抛物线的位置关系 二、学习三点 重点:弦长公式、焦点弦性质 难点:抛物线与直线的位置关系、性质的应用 易错点:抛物线与直线只有一个交点的情况 三、教学过程 (1) 用笔思考 1、 抛物线的弦与焦点弦有什么区别?最短的焦点弦是什么? 2、 抛物线的弦长公式及焦点弦弦长公式是什么? 3、 试推导焦点弦常见的性质? 4、 如何判断直线与抛物线的位置关系? 5、 如何利用抛物线的定义截距线段和最值问题? (2) 知识梳理 1、直线与抛物线的位置关系的判断方法 设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0. ①若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. ②若k2≠0,当 >0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当 =0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当 <0时,直线与抛物线相离,无公共点. 2、抛物线的弦长及焦点弦的弦长公式 弦长公式:设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=|x1-x2|= 或|AB|=|y1-y2|=(k≠0). 焦点弦弦长公式:|AB|=x1+x2+p==2p 3、 焦点弦常用的性质 ①x1 x2=,y1 y2=-p2 ②+= ③|AB|=x1+x2+p= ( 是直线AB的倾斜角, ≠0 ) ④以弦AB为直径的圆与准线相切 ⑤焦半径公式|AF|=xA+=,|BF|=xB+=.(|AF|,|BF|分别为上方、下方焦半径, 为直线的倾斜角). (3) 双师导学 1、 抛物线与直线的位置关系 例1、 已知直线l过点(-,p),且与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点,则直线l的方程为_. 2、 抛物线的焦点弦 例2、 经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,倾斜角为30 的直线l与C交于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为7,那么p=_. 3、 弦长和中点弦问题 例3、过点P(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,弦AB恰被点P平分,求AB所在直线的方程及弦AB的长度. 4、 焦点弦性质的应用 例4、已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,若 =-12,则抛物线C的方程为( ) A.x2=8y B.x2=4y C.y2=8x D.y2=4x 5、 定义法解决线段和最值问题 例5、已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,求点P到点(0,2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值. 学科网(北京)股份有限公司 $$