证明类专题训练-2024届新高考高三数学解析几何专题6

专题六 证明问题 第一部分 典例讲解 【例1】(2022新高考全国II卷·第21题)已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． *(1)求C的方程； ***(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【跟踪练习】如图，双曲线的离心率为．分别为左、右焦点，为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且． **(1)求双曲线的方程； ***(2)设和是轴上的两点，过点作斜率不为0的直线，使得交双曲线于两点，作直线交双曲线于另一点．证明直线DE垂直于轴。 【例2】(2021年新高考全国Ⅱ卷·第20题)已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为． **(1)求椭圆C的方程； ***(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是． 【跟踪练习】已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为()． **(1)证明：； ****(2)设为的右焦点，为上一点，且，证明：，，成等差数列，并求该数列的公差． 第二部分 强化训练 1、如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限． **(1)已知直线的斜率为，用表示点的坐标； ***(2)若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为 2、已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． *(1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点． **①证明：平分线段(其中为坐标原点)； ****②当最小时，求点的坐标． 3、设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为． **(1)当与轴垂直时，求直线的方程； ***(2)设为坐标原点，证明：． 4、已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为． *(1)求的方程； (2)过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向． **①若，求直线的斜率； ***②设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形． 5、设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为 ，点 满足． **(1)求点 的轨迹方程； ***(2)设点 在直线 上，且．证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点． 6. 已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点. **（1）求双曲线的方程 ***（2）设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上. 第三部分 复习巩固 1. 如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为，左、右顶点分别为．曲线是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设在第一象限且在双曲线上，直线交椭圆于点，直线与椭圆交于另一点． **（1）求椭圆及双曲线的标准方程； ***（2）设与轴交于点，是否存在点使得（其中为点的横坐标），若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 2. 已知双曲线：的一条渐近线为，椭圆：的长轴长为4，其中.过点的动直线交于A，B两点，过点Р的动直线交于M，N两点. **（1）求双曲线和椭圆的方程； ***（2）是否存在定点Q，使得四条直线QA，QB，QM，QN的斜率之和为定值?若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由. 3. 如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为，左、右顶点分别为．曲线是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设在第一象限且在双曲线上，直线交椭圆于点，直线与椭圆交于另一点． **（1）求椭圆及双曲线的标准方程； ***（2）设与轴交于点，是否存在点使得（其中为点的横坐标），若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 4、 已知双曲线的右焦点F，过点F的直线l交双曲线C于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，． **（1）求此双曲线的离心率； ***（2）若点F到此双曲线一条渐近线的距离为1，且以AB为直径的圆被x轴截得弦长为，求直线l方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题六 证明问题 第一部分 典例讲解 【例1】【解析】(1)右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴． ∴C的方程为：； (2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符； 总之，直线的斜率存在且不为零． 设直线的斜率为,直线方程为, 则条件①在上，等价于； 两渐近线方程合并为, 联立消去y并化简整理得