第3课时一般存在性问题讲义-2024届高三数学二轮复习解析几何专题4（新高考2卷）

专题四 定值、定点、定直线与存在性问题 第三课时 一般存在性问题 第一部分 典例讲解 【例1】已知动圆P经过点，并且与圆B：相切，记圆心P的轨迹为曲线C． *（1）求曲线C的方程； ***（2）若动圆Q的圆心在曲线C上，定直线l：x＝t与圆Q相切，切点记为M，探究：是否存在常数m使得？若存在，求m及直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【跟踪练习】已知椭圆，椭圆．点为椭圆上的动点，直线与椭圆交于，两点，且． *（1）求椭圆的标准方程； ***（2）以点为切点作椭圆的切线，与椭圆交于，两点，问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出面积的取值范围． 第二部分 强化训练 1、如图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，， 的面积为． **(1)求该椭圆的标准方程； ***(2)是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．． 2、已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点． **(1)求椭圆的方程，并求点的坐标(用，表示)； ***(2)设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 3、已知双曲线：的两条渐近线分别为． **(1)求双曲线的离心率； ***(2)如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点(分别在第一，四象限)，且的面积恒为，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由． 4、已知椭圆()的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 与椭圆由且只有一个公共点． **(1)求椭圆的方程； ***(2)设为坐标原点，的直线平行椭圆交于不同的两点，且与直线交于，证明：存在常数，使得，并求的值． 5、设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线 ：，与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点． *(1)用表示点到点的距离； **(2)设，，线段的中点在直线上，求的面积； ***(3)设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 第三部分 复习巩固 1、已知拋物线和圆． **（1）若抛物线的准线与轴相交于点，是过焦点的弦，求的最小值； ***（2）已知，，是拋物线上互异的三个点，且点异于原点．若直线，被圆截得的弦长都为2，且，求点的坐标． 2. 如图，椭圆，圆，椭圆C的左、右焦点分别为． **（1）过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若，求值； ***（2）过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直． 3. 已知圆是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点运动时，点的轨迹为曲线． **（1）求曲线的方程； ***（2）过点的直线与曲线相交于点，与轴相交于点，过点的另一条直线与相交于两点，且的面积是面积的倍，求直线的方程． 4. 已知是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点（点在轴的上方），直线分别与直线相交于两点．当点为椭圆的上顶点时，． **（1）求椭圆的方程； ***（2）若，且，求实数的取值范围． 5. 已知椭圆：过点，且有两个顶点所在直线的斜率为，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于点，与轴交于点． **（1）若的面积为，求直线的方程； ***（2）设过原点且与直线平行的直线交椭圆于点，求证：为定值． 6. 设A，B是椭圆上异于的两点，且直线AB经过坐标原点，直线PA，PB分别交直线于C，D两点． **（1）求证：直线PA，AB，PB的斜率成等差数列； ***（2）求面积的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题四 定值、定点、定直线与存在性问题 第三课时 一般存在性问题 第一部分 典例讲解 【例1】【解析】（1）如图所示， 由题意知，圆B圆心为，半径为4，设动圆P的半径为R， 因为，所以点在圆B内，如图所示， 所以，，所以， 所以圆心P的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆. 所以，，故，，则. 所以曲线C的方程为. （2）如图所示， 存在常数m使得，理由如下： 设，则，，， 所以，， 假设存在常数m使得， 则对于任意的恒成立， 即：对于任意的恒成立， 所以， . 即：存在常数使得， 此时直线l方程为. 【跟踪练习】【解析】（1）设，，，因为，所以， 因为点为椭圆上的动点，所以，从而 即，故椭圆的标准方程； （2）设，， 当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为 ，即， ，即，代入得直线的方程为 联立 ，消去得 注意到化简得 又， 所以点到直线的距离为 所以点到直线的距离为 故