2023-2024学年九年级上册人教版数学期末专训：圆的切线证明

2023-2024学年九年级上册人教版数学期末专训： 圆的切线证明 1．如图，在中，，，点D在边上，⊙D经过点和点B且与边相交于点E． (1)求证：是⊙D的切线； (2)若，求⊙D的半径． 2．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若直径，求的长． 3．如图，直线经过上的点，并且． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作的切线，点为切点（与点不重合）．若，的半径为5，求的长． 4．如图所示，是的直径，是弦，，于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 5．如图，已知为的直径，直线与相切于点A，直线经过上的点B，且，连接交于点M．求证： (1)是的切线； (2)若，求的长． 6．如图，Rt△ABC，∠ABC=90°，点O在AB上，AD⊥CO交CO延长线于点D，∠DAO=∠ACO，以点O为圆心，OB为半径作圆． (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)已知，求OC的长？ 7．如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 8．如图所示，AB为⊙O的直径，在△ABC中，AB=BC，AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E． (1)证明DE是⊙O的切线； (2)AD=8，P为⊙O上一点，P到弦AD的最大距离为8． ①尺规作图作出此时的P点，保留作图痕迹； ②求DE的长． 9．如图Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，点E在AB上，以AE为直径的⊙O经过点D． (1)求证：直线BC是⊙O的切线． (2)若AC=6，∠B=30°，求图中阴影部分的面积． 10．如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，，已知，，． (1)求证：是的切线； (2)连接，求的长． 11．如图，是圆的直径，为圆心，是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点．    (1)判断直线是否为的切线，并说明理由； (2)将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图2，求证：四边形为菱形． 12．如图，是的直径，是的弦，点在的延长线上，且，．    (1)求证是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积． 13．如图，四边形是平行四边形，以为圆心，为半径的圆交于，延长交于，连接，，若是的切线，    (1)求证：是的切线； (2)若，，求平行四边形的面积． 14．如图，正方形的边长为4，以为直径在正方形内部作半圆O，点E在边上，，连接和． (1)求图中阴影部分的面积（用含π的代数式表示）； (2)试判断的形状； (3)求证：是半圆O的切线． 15．如图，在平面直角坐标系中，，、，且．以为直径作交于点D，过点D作直线交线段于点E，且．    (1)求证：是的切线； (2)若线段上存在一点P，使以点P为圆心，为半径的与y轴相切，求点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是圆D的半径， ∴是⊙D的切线； （2）解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴⊙D的半径． 故答案是2． 2．（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵在中， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 又∵， 即， 解得（取正值）， ∴， 3．（1）解：证明：连接，如图， ，， ， 直线是的切线． （2）如图，∵，为切点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵OC是直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（1）解：连接 ， ，， 为的直径， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：、是的切线； ，平分， ，， 为的直径， ，即． ， 为中点， ． 6．（1）证明：作OE⊥AC，垂足为E， ∵AD⊥CO， ∴∠ADO=90°， ∴∠ADO=∠ABC=90°， ∵∠AOD=∠BOC， ∴∠DAO=∠BCO， ∵∠DAO=∠ACO， ∴∠BCO=∠ACO， ∵OB⊥BC，OE⊥AC， ∵OE=OB， ∵OB是半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵OBC=∠OEC，∠BCO=∠ACO，OC=CO， ∴△OBC≌△OEC， ∴BC=EC=6， 在Rt△ABC中，， ∴AE=AC−EC=10−6=4， 在Rt△AOE中，设半径为R， ∵AE2+OE2=OA2， ∴42+R2=(8−R)2， ∴R=OC=3， ∴在Rt△OBC中，． 7．（1）证明：∵平分， ∴∠ABD=∠O