专题7.1 锐角三角函数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（苏科版）

专题7.1 锐角三角函数（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】锐角三角函数 正弦： sinA＝＝ 余弦： cosA＝＝ 正切： tanA＝＝. 【知识点二】特殊三角函数 度数 三角函数 30° 45° 60° 1 【知识点三】解直角三角形的常用关系 (1) 三边之间的关系：； (2) 锐角之间的关系：； (3) 边角之间的关系：，，. 【知识点四】解直角三角形的应用 (1) 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角． (2) 坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有. (3) 方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角. (4) 解直角三角形实际应用的一般步骤： a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【考点目录】 【考点1】锐角三角函数； 【考点2】 特殊角三角函数值的计算； 【考点3】 解直角三角形； 【考点4】 锐角三角函数与相关知识综合 【考点5】 三角函数与实际问题 【考点一】锐角三角函数 【例1】（2022上·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，在中，于，． （1）求证：． （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据三角函数的概念可知，，根据即可得结论； （2）由的余弦值和（1）的结论即可求得，利用勾股定理求得，即可求解． 解：（1）证明：，，， ， ； （2）解：，， ， ， ，， ， ， 的面积=． 【点拨】本题考查了直角三角形中的有关问题，主要考查了勾股定理，三角函数的有关计算，熟练掌握三角函数的概念是解题关键． 【举一反三】 【变式1】（2021上·四川成都·九年级统考期末）在中，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意即可得出，设，则，利用勾股定理可求出的长，最后根据，代入数据求值即可． 解：如图， 根据题意可知，故可设，则， ∴， ∴． 故选：C． 【点拨】本题考查锐角三角形函数和勾股定理．掌握正弦和正切的定义是解题关键． 【变式2】（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点，则 （1）与是否垂直？ （填“是”或“否”）． （2） ． （3） ．    【答案】 是 / / 【分析】（1）如图，作于，的延长线于，由题意知，，，由，，证明，则，则，进而结论得证； （2）由勾股定理得，，由，可得； （3）由题意知，，即，解得，，由勾股定理得，，计算求解即可． （1）解：如图，作于，的延长线于，      由题意知，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：是； （2）解：由勾股定理得，， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意知，，即， 解得，， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，三角形内角和定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点二】 特殊角三角函数值的计算 【例2】（2023上·上海·九年级校联考阶段练习）计算 【答案】 【分析】根据0指数幂，二次根式的性质，负指数幂及特殊角三角函数直接求解即可得到答案； 解：原式 ； 【点拨】本题主要考查0指数幂，负指数幂及特殊角三角函数，解题的关键是熟练掌握：，，． 【举一反三】 【变式1】（2022上·河北石家庄·九年级校联考期中）已知则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可. 解：∵， ∴， 故选：A. 【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，比较简单，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键. 【变式2】（2020·河南省直辖县级单位·统考一模）计算： ． 【答案】 【分析】利用幂的乘方与积的乘方法则、特殊角的三角函数、零指数幂分别计算各项，再作加减法即可. 解：原式= = = = 故答案为：. 【点拨】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方法则. 【考点三】 解直角三角形 【例3】（2023上·江苏泰州·九年级校