重难点专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

重难点专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题 【题型归纳目录】 题型一：直接使用奔驰定理 题型二：三角形面积比问题 【方法技巧与总结】 奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点. 已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为. 注意：（1）在中，若为重心，则． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等． 重心的向量表示：． 奔驰定理：，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故. （3）为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形. 【典型例题】 题型一：直接使用奔驰定理 【例1】（2024·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 【变式1-1】（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·上海·高三统考期末）已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（    ） A． B． C．2 D．1 题型二：三角形面积比问题 【例2】（2024·山东济宁·高一统考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（    ） A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若，，则 D．若O为的垂心，则 【变式2-1】（2024·河南安阳·高一统考期末）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式2-3】（2024·四川凉山·高二统考期末）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式2-4】（2024·湖北·高一校联考期末）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 【过关测试】 1．（2024·陕西西安·高二陕西师大附中校考开学考试）设点在内部，且，则的面积与的面积之比是（    ） A．3：2 B．3：1 C．4：3 D．2：1 2．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考三模）在所在的平面内有一点，如果，那么的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）如图所示，设P为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（    ） A． B． C． D．1 4．（2024·江西上饶·高一玉山一中校考期末）如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于 A． B． C． D． 5．（2024·广东东莞·高一统考期末）已知在中，是的垂心，点满足：，则的面积与的面积之比是 A． B． C． D． 6．（2024·四川绵阳·高一阶段练习）设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则 A． B． C． D． 7．（多选题）（2024·