9.4 向量应用（四大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

9．4 向量应用 课程标准 学习目标 体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力． （1）能用向量方法解决简单的几何问题. （2）能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题. 知识点01 向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 【即学即练1】（2024·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. (1)用，表示，. (2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 知识点02 向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： （1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题． （2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型． （3）求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等． （4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 【即学即练2】（2024·全国·高一随堂练习）如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为，方向向东，的大小为，方向向北，求它们的合力．    题型一：利用向量证明平面几何问题 【例1】（2024·海南省直辖县级单位·高一校考期末）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【变式1-1】（2024·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【变式1-2】（2024·山东济南·高一山东师范大学附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【方法技巧与总结】 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题． （2）向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③利用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题． 题型二：利用向量解决平面几何求值问题 【例2】（2024·福建厦门·高一统考期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【变式2-1】（2024·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 【变式2-2】（2024·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 【变式2-3】（2024·山东枣庄·高一统考期末）如图，在中，，，，点在线段上，且． (1)求的长； (2)求． 【变式2-4】（2024·辽宁朝阳·高一朝阳市第一高级中学校考期末）在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 【方法技巧与总结】 （1）用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则． （2）用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 题型三：向量在物理中的应用 【例3】（2024·全国·高一随堂练习）如图，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行．已知两人手臂上的拉力大小相等且均为，两人手臂间的夹角为，水和水桶的总重力为，请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力与重力的关系． 【变式3-1】（2024·全国·高一课堂例题）如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力．已知N，求，的大小．    【变式3-2】（2024·高一课时练习）如图，用两根绳子把重10 kg的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量，重力加速