重难点专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

重难点专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题 【题型归纳目录】 题型一：重心定理 题型二：内心定理 题型三：外心定理 题型四：垂心定理 【知识点梳理】 一、四心的概念介绍： （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 二、三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 【方法技巧与总结】 （1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上． 为的内心． （2）外心：为的外心． （3）垂心：为的垂心． （4）重心：为的重心． 【典型例题】 题型一：重心定理 【例1】（2024·全国·高一随堂练习）已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2024·全国·高一假期作业）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【变式1-2】（2024·广西玉林·高一博白县中学校考开学考试）如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（    ）    A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3 【变式1-3】（2024·山西晋中·高一校考阶段练习）已知点O是边长为2的正三角形ABC的重心，则（    ） A． B． C． D． 题型二：内心定理 【例2】（2024·福建三明·高一统考期末）设为的内心，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高一课时练习）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式2-2】（2024·全国·高一专题练习）已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 题型三：外心定理 【例3】（2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为（ ） A．1 B．2 C． D． 【变式3-1】（2024·黑龙江佳木斯·高一佳木斯一中校考期末）已知O为的外心，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．1 【变式3-2】（2024·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期末）在中，O是三角形的外心，过点B作于点G，，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 题型四：垂心定理 【例4】（2024·四川成都·高一石室中学校考期末）在中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中点，H是的垂心，则 . 【变式4-1】（2024·全国·高一专题练习）是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点 形成的图形一定通过 的 ．（填外心或内心或重心或垂心） 【变式4-2】（2024·辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校考阶段练习）在中，若，则点H是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【过关测试】 1．（2024·全国·高一期末）平面上点P与不共线三点A、B、C满足关系式：，则下列结论正确的是（    ） A．在上，且 B．在上，且 C．在上，且 D．点为的重心 2．（2024·福建莆田·高一福建省仙游县华侨中学校考阶段练习）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则O是的外心 B．若，则I是的内心 C．若，则P是的垂心 D．若，则N是的重心 3．（2024·江西吉安·高一统考期末）瑞士数学家欧拉在1765年发表了一个令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线称为欧拉线．其中重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．已知M，N，P分别为的外心、重心、垂心，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 5．（2024·高一课时练习）若是内一点，，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 6．（2024·四川成都·高一树德中学校考期末）已知点，，在所在平面内，且，，