专题09 导数与函数的零点、不等式-【备考期中期末】2023-2024学年高二数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

专题09 导数与函数的零点、不等式 一．函数的零点 (1)函数零点的定义：使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． (2)三个等价关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点． 二．函数零点存在定理 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 三、利用导数研究函数的零点步骤： (1)对函数求导． (2)分析函数的单调性，极值情况． (3)结合函数性质画函数的草图． (4)依据函数草图确定函数零点情况． 四、利用函数零点的情况求参数范围的方法 (1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用零点的存在性定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 五、与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理． ： 六、利用导数证明不等式 1.利用导数证明不等式常见类型及解题策略： （1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式； （2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 2．利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法 (1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min>g(x)max； (2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)>0. 3．证明不等式时的一些常见结论 (1)ln x≤x－1，等号当且仅当x＝1时取到； (2)ex≥x＋1，等号当且仅当x＝0时取到； (3)ln x<x<ex，x>0； (4)≤ln(x＋1)≤x，x>－1，等号当且仅当x＝0时取到．　　 题型一 函数零点个数的判断与证明 【典例1】【多选题】（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【典例2】（2018·全国·高考真题）已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点． 【规律方法】 1. 利用导数判断或证明函数零点个数的策略:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负以及函数的单调性判断函数图象的走势，从而判断零点个数. 2.常用方法： （1）直接法：直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题． （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）分离参数法：分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可． 题型二：根据函数零点个数求参数取值范围 【典例3】（2023·全国·统考高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2020·全国·统考高考真题）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【规律方法】 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 题型三 根据函数零点个数求其它量 【典例5】（2021下·江西南昌·高二高安中学校考阶段练习）已知函数若有两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【典例6】（2018·江苏·高考真题）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ． 题型四 与函数零点相关的不等式证明问题 【典例7】（2023上·江苏常州·高二统考期末）已知函数，且曲线在原点处的切线方程为. (1)求实数的