复习03函数基本性质-单调性，最值和奇偶性（十二大考点）-2024年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

复习03函数基本性质-单调性，最值和奇偶性 一、函数的单调性 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[ 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 设，， 若有或，则在闭区间上是增函数； 若有或，则在闭区间上是减函数 2．单调区间的定义 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然. 3．函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”． （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （4）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 二、函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 三、函数的奇偶性 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是： 对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． 考点01函数单调性的判断及证明 【方法点拨】证明或判断函数单调性的方法步骤： ①取值：且 ②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形 ③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论 ④结论：根据定义得出结论 【例1】已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 【例2】已知函数，图象经过点，且. (1)求的值； (2)判断并用定义证明函数在区间上的单调性. 【变式1-1】下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】已知函数满足． (1)求的值； (2)试判断在上的单调性，并用定义证明． 【变式1-3】已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12. (1)求的解析式； (2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明. 考点02函数奇偶性的判断及证明 【方法点拨】先求定义域，验证是否关于原点对称，若关于原点对称，则计算，若，则函数为偶函数，若，则函数为奇函数 【例3】下列函数为偶函数是（　 ） A． B． C． D． 【例4】已知函数的表达式为． (1)证明：当时，函数在上是严格增函数； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 【变式2-1】设函数，则（   ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 【变式2-2】判断下列函数的奇偶性 (1)； (2)； (3). 【变式2-3】已知函数满足． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性，并说明