第05讲 导数的运算 （3个知识点+方法练+创新练+成果练）-2024年高二数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选择性必修第二册）

第05讲 导数的运算 （3个知识点+方法练+创新练+成果练） 【目录】 【新知讲解】 知识点1.基本初等函数的导数 知识点2.导数的四则运算法则 知识点3.简单复合函数的导数 【方法练】 【创新练】 【成果练】 【知识导图】 【新知讲解】 知识点1.基本初等函数的导数 　几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 例一、单选题 1．（2023上·全国·高二期末）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（　　） A． B．1 C．2 D． 2．已知双曲线，曲线在点处的切线方程为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 例二、多选题 3．（2024上·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考期末）若的图象在，处的切线分别为，，且，则（    ） A． B．的最小值为2 C．直线，在轴上的截距之差的绝对值为2 D．直线，在轴上的截距之积可能为 4．（2024·全国·高三专题练习）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 例三、填空题 5．（2023上·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）抛物线上的一动点到直线:距离的最小值为 知识点2.导数的四则运算法则 已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)′＝. 例一、单选题 1．（2023上·江苏南京·高二期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·青海西宁·高三统考期中）在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题.由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界.从AlphaGo到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的.在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid函数即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：.下列关于Sigmoid函数的表述，正确的是（    ） ①Sigmoid函数是单调递增函数； ②Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为； ③对于任意正实数，方程有且只有一个解； ④Sigmoid函数的导数满足：. A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 例二、填空题 3．（2024·全国·模拟预测）已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为 ． 4．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 例三、解答题 5．（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 知识点3.简单复合函数的导数 复合函数的导数 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 思考　函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ 答案　函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的． 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积． 反思感悟　(1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 例一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·广东肇庆·高二校考期末）下列函数的求导正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南