2.1等式性质与不等式性质单元设计——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

单元基本信息 学科 数学 学校 年级 设计者 指导者 组内其他教师 课程标准模块 预备知识 使用教材版本 人民教育出版社普通高中教科书数学必修第一册 单元名称 第二章 第一单元 等式性质与不等式性质 单元课时数 2课时 一、单元学习主题分析（体现学习主题的育人价值） 主题名称 等式性质与不等式性质 主题概述 相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系，等式与不等式是描述这种数量关系最基本和简洁的表现形式，其本质是实数的序关系的一般化.因此，研究等式的性质、不等式性质要以两个实数大小关系的基本事实为出发点和逻辑基础，通过代数运算发现规律、得出结论，并通过运算证明性质. 本单元将在初中学习等式与等式性质的基础上，结合具体实例，类比初中研究等式的方式方法，采取“现实或数学背景→不等关系与不等式→关于两个实数大小关系的基本事实→不等式的性质→不等式的证明及应用”的路径展开研究.其中，现实和数学背景是不等关系和不等式的来源，等式和等式性质是探究不等式和不等式性质的类比对象，“相等关系或不等关系自身的特点、运算中的不变性和规律性”是发现不等式性质的思想方法.同时，赵爽弦图中蕴含的重要不等式 a²+b²≥2ab 既是基本不等式的基础，又能增强学生的文化自信. 等式的性质与不等式的性质都是“式的性质”，反映了“式的大小关系”的本质属性，具有相似性，但等号没有方向性而不等号有方向性，因此它们又有很大的差异.等式的性质从自身特性来看，包括“对称性”和“传递性”，均体现实数序的特征；从运算角度来看，相等关系在加法、乘法运算中保持不变性，这是运算中的不变性.不等式的基本性质与等式的基本性质蕴含相同的数学思想方法，也包含自身的特性和运算中的不变性两类.不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种，都是实数序关系的数学表达，前者是不相等的两个实数大小关系的两种不同的等价表达形式，后者体现三个不相等的实数之间大小关系的内在联系；借助实数大小关系的基本事实和实数的其他一些基本事实，不等关系在代数运算中具有不变性和规律性，但不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式性质的差异.同时在不等式基本性质基础上，通过代数的运算、变形、特殊化或推广等方式获得一些常见性质，这些性质都是解决不等式问题的好工具.当然在探究性质的过程中，关注共性规律的时候也需注意差异性，这对发展学生逻辑推理等素养大有帮助. 通过上述分析可以看到，等式性质与不等式性质的根源都在于运算，“运算中的不变性、规律性”是发现代数性质的“引路人”，也是不等式性质中蕴含的基本思想和方法，在代数研究中具有基础地位，是学生发展数学运算和逻辑推理的重要载体，对促进学生思维发展和素养提升都至关重要 主题学情分析 学生在小学和初中阶段已经接触过不等式，但上升到理论层次，例如比较大小的理论根据--作差法，对不等式性质的推导与证明，利用不等式性质解决简单的证明等问题，还有一定的难度，所以在教学过程中，注意引导学生分析不等式个性质的条件及结论，做到有理有据、严谨细致、条例清楚，提高逻辑推理和数学运算的核心素养。 开放性学习环境 借助信息技术制作课件，在动态演示中帮助学生直观理解，有利于学生理解和掌握不等式的本质；借助师生交互平台及时交流想法和结果，及时进行评价分析等. 二、单元学习目标设计（基于标准、分析教材、结合学情，体现素养导向） 单元学习目标 1. 梳理等式的性质； 2. 理解不等式的概念； 3. 掌握不等式的性质. 三、学习活动/任务设计（指向学习目标，强调学生的活动与体验） 第1课时 活动1 在日常生活中，购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.2 m(含1.2 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5 m时应买全价票. 每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.设儿童的身高为米，如何利用不等式或不等式组来表示“身高超过1.2 m(含1.2 m)而不超过1.5 m”、“身高超1.5 m”和“身高不足1.2米”呢？ 学生回答问题 设计意图：通过探究，引导学生发现生活中的相等关系与不等关系，并能用数学式子表示出来，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。 第1课时 活动2 【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速；； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 【问题2】某种杂志原以每本2.5元的