第04讲：指、对、幂函数-2023-2024学年高一数学寒假同步精讲精练系列（人教A版2019）

第04讲：指、对、幂函数 【考点梳理】 考点一：指对幂的运算 考点二：比较大小 考点三：指数函数的图像问题 考点四：指数函数的实际应用 考点五：指数函数的基本性质 考点六：对数函数定义域和值域问题 考点七：对数函数的图像 考点八：对数函数的实际应用 考点九：对数函数的基本性质 考点十：幂函数的定义域、值域和图像 考点十一：幂函数的性质综合 【知识梳理】 知识一：分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 (2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 知识二．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 (5)当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 知识三：.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 知识四：对数 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 知识五：对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (2)对数的性质 ①＝ N ；②logaaN＝ N (a>0且a≠1)． (3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 知识六：对数函数的图象与性质 y=logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)(0，＋∞) 值域 (2)R 性质 (3)过定点(1,0) (4)当x>1时，y>0; 当0<x<1时，y<0 (5)当x>1时，y<0; 当0<x<1时，y>0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 技巧归纳： 1、换底公式的两个重要结论 (1)logab＝；其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 知识七：.幂函数 (1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较 知识八：五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 知识九　一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 【题型归纳】 题型一：指对幂的运算 1．（2024上·四川雅安·高一校考期末）计算下列各式： (1)； (2) 2．（2023上·全国·高一专题练习）（1）； （2）； （3）； （4）已知，，试用，表示. 3．（2023上·江西南昌·高一南昌二中） （1）计算：的值； （2）已知，，且，求的值. 题型二：比较大小 4．（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2023上·辽宁·高一沈阳二中校联考